Başka problemlere de uygulanabilecek bir yöntemi açıklayarak sorumuzun çözümünü yapalım:
Çözüm 2 (Lokman GÖKÇE): Her $a,b>0$ gerçel sayısı için $\dfrac{3a^2+b^2}{a+b} \geq ma + nb$ olacak ve eşitlik durumu $a=b$ iken sağlanacak biçimde $m, n$ sayılarını belirleyelim. $\dfrac{3a^2+b^2}{a+b}$ ve $ma + nb$ ifadelerinde $a=b$ yazarak eşitleyelim: $\dfrac{4a^2}{2a}=(m+n)a$ olup $m+n=2$ elde edilir.
Her $a,b>0$ gerçel sayısı için $\dfrac{3a^2+b^2}{a+b} \geq ma + (2-m)b$ olmasını istiyoruz. Buna denk olarak çapraz çarpım yaparak $$ (3-m)a^2 + (m-1)b^2 \geq 2ab $$ eşitsizliğini elde ederiz. Burada, simetri fikriyle $3-m=m-1$ yazarsak $m=2$, $n=0$ bulunur. Gerçekten $m=2$ için $ a^2 + b^2 \geq 2ab $ olup her $a,b>0$ için bu eşitsizlik doğrudur.
Buna göre $\dfrac{3a^2+b^2}{a+b} \geq 2a $ elde edilir. Benzer biçimde $\dfrac{3b^2+c^2}{b+c} \geq 2b $ ve $\dfrac{3c^2+a^2}{c+a} \geq 2c $ olup bu üç eşitsizlik toplanırsa
$$ \dfrac{3a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{3b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{3c^2+a^2}{c+a} \geq 2(a+b+c) $$ sonucuna ulaşılır. Eşitlik durumu yalnızca $a=b=c$ iken sağlanır.
Metin Can'ın genellemesini de bu yöntemle ispatlayalım:
$a+b>0$ olmak üzere her $x,y>0$ gerçel sayısı için
$$ \dfrac{ax^2+by^2}{x+y} \geq mx + ny \tag{1}$$
olacak ve eşitlik durumu $x=y$ iken sağlanacak biçimde $m, n$ gerçel sayılarını araştıralım. $x=y$ eşitlik durumundan dolayı $m+n=\dfrac{a+b}{2}$ olacaktır. $n$ değerini $(1)$ de yazıp çapraz çarpım yaparsak
$$ (a-m)x^2 + \left(\dfrac{b-a}{2}+m\right)y^2 \geq \dfrac{a+b}{2}xy \tag{2}$$
eşitsizliği elde edilir. Simetri fikriyle $a-m=\dfrac{b-a}{2}+m$ alınırsa $m=\dfrac{3a-b}{4}$, $n=\dfrac{3b-a}{4}$ olur. Böylece $(2)$ eşitsizliği
$$ \left(\dfrac{a+b}{4}\right)x^2 +\left(\dfrac{a+b}{4}\right)y^2 \geq \left(\dfrac{a+b}{2}\right)xy \tag{3}$$
elde edilir. Gerçekten $(3)$ eşitsizliği $(x-y)^2\geq 0$ biçimine indirgenir ve her $x,y>0$ için doğrudur. O halde $(1)$ eşitsizliği doğru olup
$$ \dfrac{ax^2+by^2}{x+y} \geq \dfrac{3a-b}{4}x + \dfrac{3b-a}{4}y $$
$$ \dfrac{ay^2+bz^2}{y+z} \geq \dfrac{3a-b}{4}y + \dfrac{3b-a}{4}z $$
$$ \dfrac{az^2+bx^2}{z+x} \geq \dfrac{3a-b}{4}z + \dfrac{3b-a}{4}x $$
eşitsizlikleri yazılır. Bu eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa
$$ \dfrac{ax^2+by^2}{x+y}+\dfrac{ay^2+bz^2}{y+z}+\dfrac{az^2+bx^2}{z+x}\geq \dfrac{(a+b)(x+y+z)}{2} $$
sonucuna ulaşılır.