Öncelikle denklem sistemin sonsuz çözümünün olabileceğini gözlemleyelim. $(M,N,K)=(2,2,2)$ için $(a,b,c,d)=(1,1,k,k)$ dörtlüsü her $k\in \mathbb{Z}$ için bir çözümdür. Dolayısıyla denklem sisteminin sonsuz çözümü olabilir.
Soruya geçmeden önce bir eşitlik verelim. Her $x$ ve $y$ reel sayısı için $$2(x^3+y^3)+(x+y)^3-3(x+y)(x^2+y^2)=0$$ eşitliği sağlanır. Şimdi şu ifadeye bakalım; $$2K+M^3-3MN=2(a^3+b^3+c^3-d^3)+(a+b+c-d)^3-3(a+b+c-d)(a^2+b^2+c^2-d^2)$$ Bu ifade için eğer $a=d$ olsaydı, yukarıda verdiğimiz eşitliğe dönüşeceğinden ifade $0$'a eşit olurdu. Dolayısıyla bu ifadenin çarpanlarına ayrılmış halinde $(a-d)$ bir çarpandır. Benzer şekilde $(b-d)$ ve $(c-d)$ ifadeleri de birer çarpan olacaktır. Bu bilgilerle ifadeyi çarpanlarına ayırırsak $$2K+M^3-3MN=6(a-d)(b-d)(c-d)$$ bulunur.
$i)$ $2K+M^3-3MN\neq 0$ ise $2K+M^3-3MN$ ifadesini çarpanlarına ayırabiliriz. İfade $6$ ile bölünmüyorsa denklem sisteminin çözümü yoktur. Dolayısıyla $6$ ile bölünmelidir. $\dfrac{2K+M^3-3MN}{6}$ ifadesinin çarpanları sonlu sayıda olacağından, $(a-d)=x$, $(b-d)=y$ ve $(c-d)=z$ için $\dfrac{2K+M^3-3MN}{6}=xyz$ denkleminin de sonlu çözümü olacaktır. Bu çözümlerden herhangi birini ele alalım, bu çözüm $(x,y,z)=(x_1,y_1,z_1)$ olsun. $a=d+x_1$, $b=d+y_1$ ve $c=d+z_1$ olacağından ilk denklemden, $$x_1+y_1+z_1+2d=M\Rightarrow d=\dfrac{M-x_1-y_1-z_1}{2}$$ bulunacaktır. Yani her $(x_1,y_1,z_1)$ üçlüsü için en fazla $1$ tane $(a,b,c,d)$ dörtlüsü bulunabilir. Dolayısıyla bu koşul altında denklem sisteminin sonsuz çözümü olamaz.
$ii)$ $2K+M^3-3MN=0$ ise $(a-d)(b-d)(c-d)=0$ olacaktır. Denklem sistemi $a,b,c$ için simetrik olduğundan genelliği bozmadan $c=d$ olsun diyebiliriz. Bu durumda yeni denklem sistemi, $$a+b=M$$ $$a^2+b^2=N$$ $$a^3+b^3=K$$ olacaktır. Bu yeni sistemin $1$ çözümü olması ana denklem sisteminin sonsuz çözümü olması için yeterlidir çünkü $(a,b)=(a_1,b_1)$ bir çözümse ana denklemde de her $k\in \mathbb{Z}$ için $(a,b,c,d)=(a_1,b_1,k,k)$ çözüm olacaktır. Dolayısıyla yeni denklemin en az bir çözümü olabilmesi için $u,v\in \mathbb{Z}$ olmak üzere $(M,N,K)=(u+v,u^2+v^2,u^3+v^3)$ formatında olması gerekir. Bu değerler için $(a,b,c,d)=(u,v,k,k)$ çözümü her $k\in \mathbb{Z}$ için çözüm olacağından ana denklemin sonsuz çözümü olmuş olur. Sağladığını göstermemiz gereken tek şart $(M,N,K)=(u+v,u^2+v^2,u^3+v^3)$ için $2K+M^3-3MN=0$ olmasıdır ve çözümün en başında verdiğimiz eşitlikten dolayı bunun sağlandığı barizdir.
Dolayısıyla verilen denklem sisteminin sonsuz çözümü olması için gerek ve yeterli şart $u,v\in \mathbb{Z}$ için $\boxed{(M,N,K)=(u+v,u^2+v^2, u^3+v^3)}$ formatında olmasıdır.
