En fazla tam kare terim sayısı {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

• Tweet

Soru: $a$, $b$ farklı pozitif tam sayılar olmak üzere $a$, $b$, $a+2$, $b+2$ sayılarının herhangi ikisinin çarpımıyla elde edilen $6$ sayı tahtaya yazılıyor. Bu çarpımlardan en fazla kaç tanesi tam kare olabilir?

[Metin Can Aydemir]

• Tweet

Bu sayıların ikişerli çarpımlarıyla $ab$, $a(a+2)$, $a(b+2)$, $b(a+2)$, $b(b+2)$ ve $(a+2)(b+2)$ sayılarını elde ederiz. Öncelikle $a(a+2)$ ifadesinin tamkare olup olamayacağını inceleyelim. Eğer ifade tamkare ise, $$a^2+2a=t^2 \Rightarrow (a+1)^2=t^2+1 \Rightarrow (a+1-t)(a+1+t)=1$$ olur. Buradan $a=0$ ve $a=-2$ çözümleri gelir fakat $a$ pozitif tamsayı olduğundan bu bir çelişkidir. Dolayısıyla $a(a+2)$ ifadesi tamkare olamaz, benzer şekilde $b(b+2)$ ifadesi de tamkare olamaz. Geriye sadece $ab$, $a(b+2)$, $b(a+2)$ ve $(a+2)(b+2)$ ifadeleri kalır. Bunlardan herhangi ikisinin tamkare olup olamayacağını inceleyelim.

i) $ab$ ve $a(b+2)$ tamkare ise çarpımları da tamkaredir. Dolayısıyla $a^2b(b+2)$ ifadesi tamkare olmalıdır. $a^2$ ifadesi zaten tamkare olduğundan $b(b+2)$ ifadesi de tamkare olmalıdır ki bunun olamayacağını gösterdik. Benzer şekilde $ab$ ve $b(a+2)$ de aynı anda tamkare olamaz.

ii) $(a+2)(b+2)$ ve $a(b+2)$ tamkare ise i şıkkındaki benzer şekilde $a(a+2)(b+2)^2$ de tamkare olmalıdır. Fakat $a(a+2)$ tamkare olamayacağından bu durum mümkün değildir. Benzer şekilde $(a+2)(b+2)$ ile $b(a+2)$'nin de tamkare olamayacağı görülebilir.

Bu $4$ sayının $3$ tanesi aynı anda tamkare olamaz (Eğer olursa i veya ii şıklarından en az biri sağlanması gerekir.) Dolayısıyla en fazla $2$ tanesi tamkare olabilir. $(a,b)=(1,25)$ için $ab$ ve $(a+2)(b+2)$ tamkare olur. Dolayısıyla cevap $2$'dir.

[Lokman Gökçe]

• Tweet

Tebrikler,

Başka örnek durum var mı diye merak edip biraz hesap yapınca bir başka örnek durumu  $a=1$, $b=361$ için elde ettim. $ab=19^2$ ve $(a+2)(b+2)=3\cdot 363 = 33^2$ olur.



Cevabını henüz bilmediğim ama cevabının olumlu olduğunu düşündüğüm bir başka soru da şu:

Soru: $a\neq b$ pozitif tam sayılar olsun. $ab$ ve $(a+2)(b+2)$ birer tam kare olacak biçimde sonsuz çoklukta $(a,b)$ sıralı ikilisi var mıdır?

[Metin Can Aydemir]

• Tweet

Aslında benim örneği bulmak için kullandığım yol tüm $(a,b)$ ikililerini bulmaya yaramasa da sonsuz çoklukta olduğunu gösteriyor. Öyle ki yapmamız gereken bir $(a,b)$ çözümü formatı elde etmek.

$a$ ve $b$'yi tamkare alalım. $a=c^2$ ve $b=d^2$ olsun. $ab=(cd)^2$ olacağından tamkaredir. Sadece $(a+2)(b+2)=(c^2+2)(d^2+2)$ ifadesinin tamkare olmasını sağlamalıyız. $$c^2+2=mx^2$$ $$d^2+2=my^2$$ olacak şekilde $(m,x,y)$ üçlüsü varsa $(c^2+2)(d^2+2)$ ifadesi $(mxy)^2$'ye eşit olur ve istediğimiz sonucu elde edebiliriz. $m=3$ alalım. $$3p^2-q^2=2$$ denklemi bir Pell denklemidir ve $(p,q)=(1,1)$ temel çözümü olduğundan sonsuz çözümü vardır.*

Bu denklemin sonsuz çözümü olduğundan ve $(p,q)=(x,c),(y,d)$ farklı çözümlerini sonsuz sayıda elde edebileceğimizden dolayı sonsuz sayıda $c$ ve $d$ pozitif tamsayısı vardır ki $(c^2+2)(d^2+2)$ tamkare olsun.

Örneğin, WolframAlpha'ya göre, $(p,q)=(1,1),(3,5),(11,19),(41,71),(153,265),...$ gibi sonsuz çözümler elde edebiliriz. Buradaki $q$ değerlerinden $c$ ve $d$'yi seçerek sonsuz çözüm ikilisi elde edebiliriz. $(a,b)=(1^2,5^2),(1^2,19^2),(5^2,19^2),...$ gibi sonsuz çözüm elde etmiş oluruz.

*: Forumumuzda "Pell Denklemi" adıyla sorular var fakat bir konu anlatımı var mı bilmiyorum. Merak edenler internetten de çok sayıda kaynak elde edebilir. Genel olarak $x^2-Dy^2=\pm 1$ denklemi olarak gösterilse de $x^2-Dy^2=n$ gibi genelleştirilmiş halini de bulabilirsiniz.

Not: Asıl sorudaki $2$ adet tamkare $ab$ ve $(a+2)(b+2)$ olmak zorunda değil gibi gözüküyor. $a(b+2)$ ve $b(a+2)$'nin aynı anda tamkare olamayacağını gösteremedim ama olabileceğini gösteren bir örnek de bulamadım.

Güncelleme: Biraz uğraşınca $a(b+2)$ ve $b(a+2)$ için de $(a,b)=(16,2)$ ikilisinin sağladığını gördüm. Örneği bulunca sonsuz sayıda olduklarını bulmak da kolay oluyor. Buradaki yöntem gibi $a=c^2$ ve $b=d^2-2$ seçilirse benzer adımlarla sonsuz çözüm olduğu ispatlanabiliyor. Bunun ispatını okuyuculara bırakıyorum.