obeb kavramı (a,b)=(a+b,a) eşitliği {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

• Tweet

$a,b$ tam sayılar olmak üzere $(a,b)=(a+b,b)=(a+b,a)=(a-b,a)=(a-b,b)$ olduğunu gösteriniz.


Not: $(a,b)$ sembolü ile $a$ ve $b$ tam sayılarının en büyük ortak böleni gösteriliyor.

Ayrıca problemin kaynak kitabından emin olmamakla beraber, Fehti Çallıalp'in Sayılar Teorisi kitabı olduğunu sanıyorum. Öğrencilerin sıkça sorduğu sorulardan biridir. Bir kez burada çözüm yolunu sunalım istedim. Farklı çözümler yapılabilir, onları da ekleyebilirsiniz ...

[Lokman Gökçe]

• Tweet

$(a,b)=d$ olsun. $a=dx$, $b=dy$ ve $(x,y)=1$ olur. Buna göre

$a+b=d(x+y)$ ve $a=dx$ sayılarının her ikisinin de ortak bir böleni $d$ dir. Bu durumu $(a+b,a)=d(x+y, x)$ ile gösterebiliriz. Şimdi $(x+y,x)=1$ olduğunu kanıtlayacağız. Ama unutmayalım ki $(x,y)=1$ idi.


$(x+y,x)=t$ diyelim. $x+y=tk$, $x=tn$ olur. Bu halde $y=t(k-n)$ dir. $t|x$ ve $t|y$ olduğundan $t=1$ olmak zorundadır. Çünkü $(x,y)=1$ demiştik. Böylece $(x+y,x)=1$ olup $(a+b,a)=d(x+y, x)=d=(a,b)$ elde edilir.
Burada $d,t$ obeb değerleri olduğundan pozitif tam sayılardır ve diğer $x,y,k,n$ birer tam sayıdır. Diğer eşitliklerin de aynı biçimde ispatlanabileceği açıktır.


Problem basit olmakla beraber yine de elimden geldiğince anlaşılır biçimde yazmaya çalıştım, umarım öyle olmuştur.