$2^{p-1}-1 / p = x^2$ olsun. $p = 2$ için tam kare olmadığı açık. $p>2$ için $p=2k+1$ diyelim. Eğer bunu yaparsak
$2^{2k} - 1 = px^2$
$(2^k - 1)(2^k + 1) = px^2$
Eşitliklerine ulaşırız. $p$ sayısı $(2^k - 1)(2^k + 1)$ sayısını böldüğünden ve asal olduğundan 2 durum inceleyeceğiz.
$i)$ $p$ sayısı $2^k - 1$ sayısını bölsün. $2^k - 1 / p$ ve $2^k + 1$ sayıları aralarında asaldır. (Neden ?) .Bu durumda eşitliğin tam kare olabilmesi için, 2 sayının da tam kare olması gerekir.
$2^k + 1 = y^2$ diyelim. $2^k = (y-1)(y+1)$ eşitliğinden $y-1 = 2^a$ ve $y+1 = 2^b$ olmalıdır. $2^b - 2^a = 2$ olup, $a = 1$ ve $b=2$ olup, $y=3$ $k=3$ $p=7$ bulunur.
$ii)$ $p$ sayısı $2^k + 1$ sayısını bölsün. Bu durumda $2^k - 1 = y^2$ olmalıdır.
$2^k = y^2 + 1$ ve $y$ sayısı tek sayı olacağından $y = 2n+1$ yazalım. Bu durumda
$2^{k-1} = 2n^2 + 2n + 1$ olup çelişkiye ulaşırız. (Sağ taraf tek iken sol taraf çift). Bu çelişkiden bizi kurtaracak tek $k$ değeri $1$ dir. Bu durumda $p$ sayısı $3$ olacaktır. Yani $3$ ve $7$ olmak üzere 2 tane asal sayı vardır.