Gönderen Konu: $(2^{p-1} - 1)/p$ tam kare {çözüldü}  (Okunma sayısı 2256 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
$(2^{p-1} - 1)/p$ tam kare {çözüldü}
« : Mayıs 21, 2017, 07:33:21 ös »
$\dfrac{2^{p-1} - 1}{p}$ tam kare ise $p$ asal sayısının alabileceği değerleri belirleyiniz.

Not: Daha önce forumda çözülmüş olabilir. Ancak aramalardan bulamadım.
« Son Düzenleme: Mayıs 27, 2017, 12:20:15 öö Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 886
  • Karma: +14/-0
Ynt: $(2^{p-1} - 1)/p$ tam kare
« Yanıtla #1 : Mayıs 23, 2017, 07:56:38 ös »
Geoman'da ben de bulamadım. Fakat soruya umo 1997 sorusu olarak kitaplarda ve nette rastladım. Modülo 4'te çözmeyi denedim fakat sonuclandiramadim.
« Son Düzenleme: Mayıs 24, 2017, 01:35:33 öö Gönderen: alpercay »

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 414
  • Karma: +8/-0
Ynt: $(2^{p-1} - 1)/p$ tam kare
« Yanıtla #2 : Mayıs 24, 2017, 12:36:49 öö »

Çevrimdışı Dogukan6336

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 57
  • Karma: +2/-0
Ynt: $(2^{p-1} - 1)/p$ tam kare
« Yanıtla #3 : Mayıs 26, 2017, 10:45:55 ös »
$2^{p-1}-1 / p = x^2$  olsun. $p = 2$ için tam kare olmadığı açık. $p>2$ için $p=2k+1$ diyelim. Eğer bunu yaparsak


                                                 
$2^{2k} - 1 = px^2$

$(2^k - 1)(2^k + 1) = px^2$

Eşitliklerine ulaşırız. $p$ sayısı $(2^k - 1)(2^k + 1)$ sayısını böldüğünden ve asal olduğundan 2 durum inceleyeceğiz.

$i)$ $p$ sayısı $2^k - 1$ sayısını bölsün. $2^k - 1 / p$ ve $2^k + 1$ sayıları aralarında asaldır. (Neden ?) .Bu durumda eşitliğin tam kare olabilmesi için, 2 sayının da tam kare olması gerekir.

$2^k + 1 = y^2$ diyelim. $2^k = (y-1)(y+1)$ eşitliğinden $y-1 = 2^a$ ve $y+1 = 2^b$ olmalıdır. $2^b - 2^a = 2$ olup, $a = 1$ ve $b=2$ olup, $y=3$ $k=3$ $p=7$ bulunur.

$ii)$ $p$ sayısı $2^k + 1$ sayısını bölsün. Bu durumda $2^k - 1 = y^2$ olmalıdır.

$2^k = y^2 + 1$ ve $y$ sayısı tek sayı olacağından $y = 2n+1$ yazalım. Bu durumda

$2^{k-1} = 2n^2 + 2n + 1$ olup çelişkiye ulaşırız. (Sağ taraf tek iken sol taraf çift). Bu çelişkiden bizi kurtaracak tek $k$ değeri $1$ dir. Bu durumda $p$ sayısı $3$ olacaktır. Yani $3$ ve $7$ olmak üzere 2 tane asal sayı vardır.
« Son Düzenleme: Haziran 13, 2017, 02:12:07 ös Gönderen: Dogukan6336 »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal