Gönderen Konu: zor kuvvet çarpımı  (Okunma sayısı 1897 defa)

Çevrimdışı KereMath

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 67
  • Karma: +2/-0
zor kuvvet çarpımı
« : Ağustos 24, 2016, 11:01:13 ös »
tüm $n$ pozitif tam sayılarını bulunuz öyle ki;
$n=\prod _{ i=1 }^{ k }{ { n }_{ i }^{  } }={ 2 }^{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ k } } \prod _{ i=1 }^{ k }{ \left( { n }_{ i }-1 \right)  }  }-1$ ifadelerini sağlayan $n_1,n_2,...n_k>3$ tam sayıları var olsun.
Kerem Recep Gür

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 422
  • Karma: +5/-8
Ynt: zor kuvvet çarpımı
« Yanıtla #1 : Ağustos 25, 2016, 03:19:01 öö »
$(\text{ArtOfMathSolving})$

Düzenlersek,$$1+\prod_{i=1}^{k}n_{i}=2^{\prod_{i=1}^{k}n_i}-1\Rightarrow \log_{2}\left( \prod_{i=1}^{k}n_i+1\right)^{2{k}}=\prod_{i=1}^{k}n_i-1$$.

Açıkça $k=1$ için $n=7$ ayrıca iddia ediyoruz ki bu ifade $k=1$ için doğru, $k\geqslant 2$ için eşitsizliğe dönüşüyor ayrıca $k=2$ için eşitlik durumu yok ve Sol taraftaki ifade sağ taraftaki ifadeden büyük. Kanıtlayalım.

$$\prod_{i=1}^{k}(n_{i}-1)\leqslant \left( \dfrac{\sum_{i=1}^{k}(n_{i}-1)}{k}\right)^k$$ olduğunu Aritmatik ortalamadan biliyoruz. Göstermek gereken,

$$\log_{2}\left(\prod_{i=1}^{k}n_{i}+1\right)^{2^{k}}\geqslant \left( \dfrac{\sum_{i=1}^{k}(n_i-1)}{k}\right)^{k/2^{k}}$$

$$\Rightarrow \sqrt[2^k]{2^{\left( {\frac{\sum_{i=1}^{k}(n_i-1)}{k}}^{k}\right)}}\geqslant\left( \sum_{i=1}^{k}(n_i-1)\right)^k+1$$ $n\rightarrow \infty$ olduğunda ifade $Bernoulli$ eşitsizliğinden doğru olacaktır. Şimdi $k=2$ için çözüm olmadığını gösterelim. Bu eşitsizlikte $k=2$ yazıp, $((n_1-1)(n_2-1))^2+4=\ell$ dersek, $2^{\ell/4}=\ell/2$ denkleminin çözümleri $\ell=4,8$ olur fakat $n_i$ li terimlerin tanımlarından bu mümkün değildir, çelişki! O halde ispat biter. $\square$
« Son Düzenleme: Ağustos 25, 2016, 03:37:27 ös Gönderen: ArtOfMathSolving »
Sıradan bir matematikçi...

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal