Sayılar Teorisi Soru $27$

[MATSEVER 27]

En az $4$ eleman içeren bir $A$ kümesinde $i,j$ $\in$ $A$ ise $|i-j|$ nin asal olmasını ve $2015$ $\in$ $A$ olmasını sağlayan tüm $A$ kümelerini belirleyiniz.

[taftazani44]

A={2015,.........} olsun
2015 tek sayıdır.
i€A için |2015-i|=p   olsun.
Bu durumda i tek sayı ve p=2 olmalı.
Bundan sonra ikinci bir j €A tek sayısı olamaz,çünkü
2015-j veya i-j farklarından biri kesinlikle 2k olur.
j sayısını çift alabiliriz.
Bu durumda da ikinci bir çift sayı bulundurmaz A kümesi.
A={2015,T,Ç}
Bu şartları sağlayan küme yoktur.

[MATSEVER 27]

Ancak sağlayan $4$ adet küme vardır. Örnek olarak bir tanesi olan ${2010,2012,2015,2017}$ kümesi verilebilir.

[taftazani44]

(((

[taftazani44]

Bu durumda yazdığınız kümeye yeni bir tek yada çift sayı dahil edildiğinde enaz bir tane i-j, 2 den büyük çift olup asallığı bozar.yada i-j, 1 olup yine asallık bozulur.
Dörtten fazla elemanlı olamaz.

Ve bu yazdığı nız tektir diyebilir miyiz?

[MATSEVER 27]

Evet kümelerimiz $4$ elemanlı olacak. Güzel bir şey fark etmişsiniz. Toplam $4$ adet küme olacak bu şekilde.