Sayılar Teorisi Soru 13

[MATSEVER 27]

$2^n$ $+$ $12^n$ $+$ $2011^n$ tamkare olacak şekilde tüm $n$ doğal sayılarını belirleyiniz. $\text{[USAJMO 2011]}$

[taftazani44]

Mod 4 te incelenirse n≥2 için
Verilen ifade 2 ye denk olur.
Tamkare sayılar mod 4 te 2 ye denk olmazlar.
n=0 için 3
n=1 için 2025 =45² olur yanı n=1 sağlar

[MATSEVER 27]

Tam çözümü verelim $n$ $>$ $1$ için bu ifade $n$ tek sayı iken ifade $\text{(mod 4)}$ te $3$ e denktir. $n$ çiftkense $\text{(mod 4)}$ te $1$ e denktir. $n$ sayısı $1$ den büyük bir tekken tamkare olamaz. $n$ sayısı çiftken de $\text{(mod 3)}$ te $2$ e denktir. O zaman $n$ $>$ $1$ için tamkare olamaz. $n$ $=$ $1$ tek çözümdür.