Asal sayı sorusu

[Egemen]

$2p+27$ ve $4p+11$ sayılarının ikisinin de asal olmasını sağlayan kaç tane $p$ asal sayısı vardır?

[Lokman Gökçe]

En az 5 tane $p$ asalı vardır.

$p=2$ için $2p + 27 = 31$ ve $4p + 11 = 19$ asaldır.
$p=5$ için $2p + 27 = 37$ ve $4p + 11 = 31$ asaldır.
$p=17$ için $2p + 27 = 61$ ve $4p + 11 = 79$ asaldır.
$p=23$ için $2p + 27 = 73$ ve $4p + 11 = 103$ asaldır.

Bir de, aşikar olarak $ p=863 $ asalı için $ 2p + 27 = 1753 $ ve $ 4p + 11 = 3463 $ asaldır

[osman211]

hocam nasil yani ?

[Lokman Gökçe]

$p \geq 23$ asalları için $ p \in {24k+1,24k+5,24k+7,24k+11,24k+13,24k+17,24k+19,24k+23}$ olmalıdır. Burada $k$ bir pozitif tamsayıdır.

$p = 24k+1$ durumunda $2p + 27 = 48k + 29$ belki asal olabilir ancak $4p + 11 = 96k + 15$, $3$ ile bölünebildiğinden asal olamaz.

$p = 24k+23$ durumunda $2p + 27 = 48k + 73$ belki asal olabilir. $4p + 11 = 96k + 103$ ifadesi de belki asal olabilir. Benzer durum $p = 24k+5$ için de geçerlidir. Biz $p = 24k+23$ durumunu göz önüne alarak $k$ ya bazı değerler verelim. $k=1,2, 3, \dots $ değerler verirken $k=35$ için aradığım ilginç durumu sonunda yakaladım: $p=863$ asal, $2p +27= 1753$ asal, $4p +11=3463$ asal oluyor.

Şu demek oluyor. $k$ ya daha yüksek değerler vererek daha büyük asallar elde edilebilme şansı vardır. Hatta $p=24k+5$ için de $k$ ya değerler vererek daha farklı formatta asal sayılar elde edilebilir. Muhtemelen bu şekilde sonsuz çoklukta asal sayı vardır, şu andaki matematik bilgimizle bunu bilemiyoruz