Gönderen Konu: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1964 Soru 5  (Okunma sayısı 1610 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1964 Soru 5
« : Kasım 02, 2013, 04:44:34 ös »
Düzlemde beş nokta, bu noktaların belirttiği doğrulardan herhangi ikisi birbirine paralel, dik veya çakışık olmayacak şekilde seçiliyor. Her noktadan, diğer dört noktanın belirttiği doğrulara dikler çiziliyor. Bu dikmelerin en fazla kaç noktada kesiştiğini belirleyiniz?

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1964 Soru 5
« Yanıtla #1 : Ocak 10, 2022, 12:03:56 öö »


Noktalar $A,B,C,D,E$ olsun.

$(A,B)$ ikilisi için; $A$ dan inilen dikmelerle ($d(A)$) $B$ den inilen dikmelerin ($d(B)$) kaç noktada kesiştiğine bakalım.

$B$ den inilen dikmeleri $A$ dan geçen doğrularla ($AE$, $AD$, $AC$) ile $A$ dan geçmeyenler ($ED$, $DC$, $EC$) doğrulara indirilen dikmeler diye iki gruba alalım. ($d_1(B)$ ile $d_2(B)$)

$d(A)$ ile $d_1(B)$ deki her doğru $6$ noktada, toplam $6 \times 3=18$ noktada kesişir.  Bu iki kümenin elemanları paralel değildir.

$d(A)$ ile $d_2(B)$ deki her doğru $6$ noktada kesişmez. Örneğin $d(B, ED) \parallel d(A, ED)$ olduğu için $5$ noktada kesişir. $5 \times 3=15$.

$d(A)$ ile $d(B)$; $15+18=33$ noktada kesişir.

$C(5,2) = 10$ nokta çifti olduğu için $330$ kesişim noktası çıkar.

Çözümde eksik olan bir şeyler daha var: üçgenlerin diklik merkezleri.

$A,B,C,D,E$ noktaları $C(5,3) = 10$ üçgen belirtir. $330$’u bulurken $3$ dikme $3$ noktada kesişir varsaymıştık. Halbuki diklik merkezinden dolayı $3$ değil $1$ noktada kesişirler. Yani her üçgen için $2$ nokta fazla sayılmış. $2\times 10 = 20$.

$ \boxed{330-20=310}$.

$A,B,C,D,E$ noktalarını da sayarsak $\boxed{310 + 5 = 315}$ nokta elde edilir.

Aslında soru burada bitmiyor. $A,B,C,D,E$ nin seçilişine göre başka dikmeler de noktadaş olabilir.
Öyle $5$ nokta seçilebilir mi ki, söz konusu dikmeler $315$ değişik noktada kesişsin.

John Scholes, kalva.demon.co.uk, yarışmacıların sözlü olarak bunu yapmalarına gerek olmadığı şeklinde bilgilendirildiğini düşünüyor.

The Imo Compendium kitabına göre jüri örnek $5$ nokta beklememiş. Yine bu kitabın ifadesine göre $A(1,1), B(e, \pi), C(e^2, \pi^2), D(e^3, \pi^3), E(e^4, \pi^4)$ noktalarının yukarıda tespit ettiklerimiz dışında noktadaş dikmeler oluşturmayacağı kolaylıkla görülebilir. Ben ise kolayca göremiyorum. Bu konuda çözümünüz varsa burada paylaşabilirsiniz.
« Son Düzenleme: Ocak 10, 2022, 10:59:47 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal