Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: MATSEVER 27 - Aralık 09, 2015, 07:57:21 ös

Başlık: Sayılar Teorisi Soru $29$
Gönderen: MATSEVER 27 - Aralık 09, 2015, 07:57:21 ös
Herhangi $2$ bölenin toplamı tamkare olan tüm tamsayıları bulunuz.
(Mehmet Berke İşler)
Başlık: Ynt: Sayılar Teorisi Soru $29$
Gönderen: Metin Can Aydemir - Temmuz 26, 2021, 01:24:52 ös
Tahminimce $2$ farklı bölen demek isteniyor çünkü aksi takdirde soru çok basit kalıyor çünkü eğer her $n$ için $1\mid n$ olduğundan $1+1=2$ tamkare olmadığından istenilen sağlanılmaz. Farklı demek istediğini kabul edelim ve bu sayıya $n$ diyelim.

$n=1$ sayısının $2$ farklı böleni olmadığından sağladığını kabul edebiliriz (kabul etmemeliyiz de diyebilirsiniz). $n$, $1$'den farklı bir sayı ise $p\mid n$ olacak şekilde bir $p$ asal sayısı vardır. Ayrıca $1\mid n$ olduğundan $1+p$ tamkaredir. $x$, pozitif bir tamsayı olmak üzere, $$1+p=x^2\Longrightarrow p=(x-1)(x+1)\Longrightarrow x-1=1\Longrightarrow p=3$$ bulunur. Dolayısıyla $n$'nin tek asal böleni $3$ olabilir. Yani $n=3^k$ formatındadır. Eğer $k\geq 2$ ise $9\mid n$ olacağından $3+9=12$ tamkare olmalıdır fakat değildir. Dolayısıyla, bu durumdan sadece $n=3$ sayısı gelir.

Sonuç olarak $n=3$ ve $n=1$ sayıları istenilen sayılardır.

Güncelleme: Soruyu çözerken her şeyi pozitif olarak almışım fakat soruda pozitiflikten bahsetmiyor. $n$ sağlıyorsa $-n$ de sağlayacağı için $n=3,-3,1,-1$ durumlarına bakılmalıdır. $1+(-3)=-2$ tamkare olmadığından $3$ ve $-3$ de sağlamaz cevap sadece $1$ ve $-1$ olur. Fakat bence soruyu yazan arkadaş pozitif olarak düşünmüştür.
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal