Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2002 Soru 4

[ERhan ERdoğan]

$n$, $1$ den büyük bir tam sayı olsun. $n$ nin pozitif tam bölenleri $$1=d_1<d_2<\dots <d_k = n$$ ve $D=d_1d_2 + d_2d_3 + \dots + d_{k-1}d_k$ olsun.

• $D<n^2$  olduğunu kanıtlayınız.
• $D$ nin $n^2$ nin bir böleni olduğu tüm $n$ sayılarını belirleyiniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$p\leq k$ olmak üzere $d_p=\dfrac{n}{d_{k+1-p}}$ olduğunu kullanarak
$$D=d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k=\dfrac{n^2}{d_{k}d_{k-1}}+\dfrac{n^2}{d_{k-1}d_{k-2}}+\cdots+\dfrac{n^2}{d_{2}d_{1}}=n^2\left(\dfrac{1}{d_{k}d_{k-1}}+\dfrac{1}{d_{k-1}d_{k-2}}+\cdots+\dfrac{1}{d_{2}d_{1}}\right)\leq n^2\left(\dfrac{1}{k\left(k-1\right)}+\dfrac{1}{\left(k-2\right)\left(k-2\right)}+\cdots+\dfrac{1}{2.1}\right)$$
$\sum\limits_{n=1}^{j}{\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}}=1-\dfrac{1}{j}$ olduğundan

$$D\leq n^2\left(\dfrac{1}{k\left(k-1\right)}+\dfrac{1}{\left(k-2\right)\left(k-2\right)}+\cdots+\dfrac{1}{2.1}\right)=n^2\left(1-\dfrac{1}{k}\right)< n^2$$
elde edilir ve $a)$ kısmı ispatlanmış olur.
$b)$ kısmına gelelim. $D|n^2$ durumunda
$$1<\dfrac{n^2}{D}\leq \dfrac{n^2}{d_{k-1}d_{k}}=d_1d_2=d_2$$
olduğundan D ifadesinin $n^2$'in tam böleni olması için
$D=d_{k-1}d_{k}$ dolayısıyla $k=2$ olmalıdır. Aksi halde $a)$ probleminden dolayı $n^2$'nin kendisine eşit olamaz ve $n^2$'yi tam bölemez. $k=2$ olması ise $n$'in asal olması ile sonuçlanır. Dolayısıyla $D$, ancak ve ancak $n$'in asal olması ile $n^2$'nin tam böleni olur.