Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2025 Soru 3

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$\angle A=90^{\circ}$  olan bir $ABC$  üçgeninde $A$  noktasından $BC$  kenarına inen dikme ayağı $D$  ve $CD$  doğru parçasının orta noktası $E$  dir. $ABD$  üçgeninin çevrel çemberi $AE$  doğrusunu ikinci kez $F$  noktasında kessin. $AB$  ve $DF$  doğruları $X$  noktasında kesiştiğine göre $XD=XC$  olduğunu gösteriniz.

[geo]

$AD$ ile $BF$, $H$ de kesişsin. $H$, $\triangle ABE$ nin diklik merkezidir. $EH\perp AB$ olduğu için $EH\parallel AC$. Dolayısıyla $DH:HA=DE:EC=1$.
$AC$ nin orta noktası $M$ olsun. $EM \parallel AD$ olduğu için $EM\perp BC$ ve $\angle EMH=90^\circ$.
$A, B, D, F$ noktaları çemberseldir. Bu çembere $\odot (AB)$ diyelim.
$A, B, E, M$ noktaları çemberseldir. Bu çember de $\odot (BM)$ olsun.
$\odot (EH)$ çemberi de $E, D, H, F, M$ noktalarından geçer.
$\odot (AB)$ ile $\odot (BM)$ nin kuvvet ekseni $AB$, $\odot (AB)$ ile $\odot (EH)$ nin kuvvet ekseni $DF$, $\odot (EH)$ ile $\odot (BM)$ nin kuvvet ekseni $EM$ dir.
Üç çemberin ikişerli kuvvet eksenleri noktadaş olduğu için $X, M, E$ doğrusaldır. $DE=EC$ ve $XE\perp CD$ olduğu için $XD=XC$ dir.