Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2025 Soru 2

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$2025$  sayısı bir blok olmak üzere, en az bir blok içeren
$$20252025\cdots 2025$$
formdaki sayılardan bir tam sayının karesi olan sayıları belirleyiniz.

[ygzgndgn]

Cevap. Sadece $2025$

Çözüm.
$n$ tane $2025$ olacak biçimde $a_n=20252025...2025$ dizisini tanımlayalım. Her $n$ için aşağıdaki eşitlik sayıyı onluk tabanda inceleyerek bulunabilir.
$$a_n=2025(10^{4n-4}+10^{4n-8}+\dots+10^4+1)=45^2(10^{4n-4}+10^{4n-8}+\dots+10^4+1)$$
Geometrik dizi toplamından faydalanırsak
$$1+(10^4)^1+\dots+(10^4)^{n-1}=\frac{10^{4n}-1}{9}=\frac{10^{4n}-1}{3^2}$$
gelir. Yerine yazarsak $a_n=15^2(10^{4n}-1)$ bulunur. Şayet $a_n$ tam kare ise parantez içindeki ifade de tam kare olmalıdır. Bunu sağlayan tek durum $n=1$ dir.