Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 28

[matematikolimpiyati]

$33$ öğrencinin katıldığı bir satranç turnuvasında her öğrenci ikilisi arasında tam olarak bir maç yapılmıştır. Her maçta kazanana $1$, kaybedene $0$, berabere kalanların her birine $1/2$ puan veriliyorsa turnuvada tam olarak $7$ puan toplayan öğrenci sayısı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 14  \qquad\textbf{b)}\ 15  \qquad\textbf{c)}\ 16  \qquad\textbf{d)}\ 17  \qquad\textbf{e)}\ 18$

[vedatde]

Her maçta $ 1 $ puan verilmektedir.

Kazanan-kaybeden durumu $ 1 $ puan , Berabere-berabere durumu $ 0.5+0.5 = 1 $ puandır.

Her öğrenci ikilisi arasında 1 maç yapılmıştır.

$ Toplam $ $maç$ $sayısı = $ $528 $ tanedir.

$ Toplam $ $puan = 528 $

$ 7$ $ puan$ $ alan$ $ öğrenci $ $ sayısı$ $ en $ $ fazla $ $ k $ $ olsun. $

$ 32 $ puan alan öğrenci sayısı en fazla tam olarak $ 1 $ tane olabilir.

$ 31 $ puan alan öğrenci sayısı en fazla tam olarak $ 1 $ tane olabilir.
 
$ … $

$ n $ puan alan öğrenci sayısı en fazla tam olarak $ 1 $ tane olabilir.   

O zaman $ n $ puandan $ 32 $ puana kadar alınan puanların toplamı=P=(32+n)(33-n)/2

Amaç çok puan alan öğrenci sayısı az olacağı için 7 puan alan öğrenci sayısı en fazla olur.
 
Diğer puanları $ 7 $ puan öğrenciler alırsa $ 7 $ puan alan öğrenci sayısı en fazla olur.

Artan olabilir ve $ a<= 6 $ dan küçüktür. Bunu da bir öğrenci alabilir eğer artan varsa.

 $ Toplam $ $puan  = P + 7k +a $

 $ 528=  (32+n)(33-n)/2  +7k+a=528-(n^2-n)/2+7k+a  $
 
$   (n^2-n)/2=7k+a $
 
$ n≥k $ dır. 

$ n^2-n=14k+2a $

Bu denklemin $ k $ değerini en büyük yapacak şekilde tek çözümü $ n=15 ,k=15 ,a=0 $ dır.

 $  n^2-n=14k+2a $ denkleminde yerine koyarsak,
 
$ 225-15=210=14.15+0=210 $

$ 7 $ puan alabilecek öğrenci sayısı en fazla $ 15 $ olabilmektedir.


Yanıt B