Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 24

[matematikolimpiyati]

Bir masa üzerinde sırasıyla $55,60,65,70,75,80$ bilye içeren $6$ kutu vardır. Her işlemde en az $5$ bilye içeren bir kutu seçiliyor ve bu kutudan $5$ bilye alınıp diğer kutuların her birine birer bilye dağıtılıyor. Birkaç işlem sonucunda $N$ bilye içeren bir kutu elde edilebiliyorsa $N$ sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 385  \qquad\textbf{b)}\ 390  \qquad\textbf{c)}\ 395  \qquad\textbf{d)}\ 400  \qquad\textbf{e)}\ 405$

[vedatde]

$ 55, 60, 65, 70, 75, 80 $ bilye içeren kutulardan birinin işlemler sonunda en fazla bilye içermesi

istenmektedir.

Bu kutulardan biri daima hiç seçilmesin. Yani her işlemde içeriği 1 artacak demektir.

Son 5 işlemi düşünelim.

Seçilen kutulardan birisi $ 5 $ bilye diğerleri de $ a, b, c, d $ kadar bilye içersin.

Sondan $ 5. $ işlem yapıldığında içerdikleri bilye sayıları,

$ 0 , a+1 , b+1 , c+1 , d+1 $ kadar olur.

Sondan $ 4. $ işlem yapıldığında içerdikleri bilye sayıları, diyelim $ a+1=5 $ , $ a=4 $

$ 1 , 0 , b+2 , c+2 , d+2 $ kadar olur.

Sondan $ 3. $ işlem yapıldığında içerdikleri bilye sayıları, diyelim $ b+2=5 $ , $ b=3 $

$ 2 , 1 ,0 , c+3 , d+3 $ kadar olur.

Sondan $ 2. $ işlem yapıldığında içerdikleri bilye sayıları, diyelim $ c+3=5 $ , $ c=2 $

$ 3 , 2 , 1 , 0 , d+4 $ kadar olur.

Sondan $ 1. $ işlem yapıldığında içerdikleri bilye sayıları, diyelim $ d+4=5 $ , $ d=1 $

$ 4 , 3 , 2 , 1 , 0 $ kadar olur.

Sonuç olarak daima aynısı seçilen $ 5 $ kutuda son işlem yapıldığında içerdikleri bilye sayıları

$ 0 , 1 ,2 , 3 , 4 $ tanedir. Toplam 10 bilye bu kutularda kalmaktadır.

Toplam bilye sayısı $ 405 $ dir.  Öyleyse en fazla bilye içeren kutuda $ 405-10=395 $ bilye vardır.


Yanıt C