Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 18

[matematikolimpiyati]

Bir tahtada hiçbiri $2025$ ten büyük olmayan $N$ farklı pozitif tam sayı vardır. Tahtadaki birbirinden farklı herhangi $a$ ve $b$ sayıları için $a-b$ sayısı $a+b$ sayısını bölmüyorsa $N$ en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 405  \qquad\textbf{b)}\ 506  \qquad\textbf{c)}\ 675  \qquad\textbf{d)}\ 836  \qquad\textbf{e)}\ 1024$

[vedatde]

Yanıt: $\boxed{C}$ 

Birbirinden farklı a ve b sayıları için $a-b$ sayısı $a+b$ sayısını bölsün.
O zaman $ k\geq 0 $ ve  tamsayı olmak üzere ,

$  a+b=k(a-b)  $  olur.

$  a(k-1)=b(k+1)     $

$ a=(k+1)/(k-1)  b  $
$ a=(  (k-1+2)/(k-1)  ) b $

$ a=b+(2/(k-1)) b $

$ k=2 $ ve $ 3 $ değerleri için $ a $ pozitif tamsayı olur.

$ a=2b $ ve $ a=3b $ şeklindedir.   

$ 2025 $ değerinden küçük eşit olan $ a $ ların sayısı,
$ a=2b $ için $ 1012 $ tane
$ a=3b $ için  $675 $ tane
ve her ikisinin ortak katı için $ 337 $ tane 

O zaman $ 1012+675-337=1350 $  a değeri için $ a+b $ sayısı $ a-b $ sayısını böler.

 $ a+b $ sayısı $ a-b $ sayısını $ bölmüyorsa $ N sayısı en fazla

 $2025-1350=675$  olur.