Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 15

[matematikolimpiyati]

Bir masa üzerinde her biri $10$ toptan oluşan $3$ öbek bulunuyor. Bu $30$ topun her biri kırmızı veya beyaz renktedir. Aynı renkli topların ağırlıkları birbirine eşit olup bir kırmızı top bir beyaz toptan daha ağırdır. Bu öbeklerdeki topların toplam ağırlıkları $12$, $116$ ve $129$ ise bu $3$ öbekte toplam kaç tane kırmızı top vardır?

$\textbf{a)}\ 15  \qquad\textbf{b)}\ 16  \qquad\textbf{c)}\ 17  \qquad\textbf{d)}\ 18  \qquad\textbf{e)}\ 19$

[vedatde]

Öbeklerdeki kırmızı ve beyaz topların sayısı sırasıyla $k_1 $ ,$k_2 $ ,$k_3 $ ,   $b_1$ ,$b_2 $ ,$b_3 $  ve
ağırlıkları da $t_1 $ ,$ t_2 $ olsun.

$ k_1 t_1+  b_1 t_2=12 $

$ k_2 t_1+  b_2 t_2=116 $
 
$ k_3 t_1+  b_3 t_2=129 $
 
$ t_1-t_2>0 $ 
 
Yukarıda yazılan  denklemlerden ,

$ ( k_2-k_1 )  (t_1-t_2 )=104=8.13 $

$ ( k_3-k_2 )  (t_1-t_2 )=13 $ 
 
$ ( k_3-k_1 )  (t_1-t_2 )=117=9.13 $ 

denklemleri elde edilir.  Topların sayısı tamsayı olduğu için ,

$ t_1-t_2=13 $ olmak zorundadır.

O zaman ,
 
$   k_2-k_1=8 $

$  k_3-k_2=1 $

$  k_3-k_1=9 $

$  k_1=0 ,k_2=8 ,k_3=9   $  bulunur.
 
$  k_1=0 ,k_2=8 ,k_3=9 $ $ ve $  $ b_1=10 ,b_2=2 ,b_3=1   $  bulunur.
 
$ Bu $ $ durumda $ $ toplam $ $ kırmızı $ $ top $ $ sayısı $ $=  0 + 8 + 9  = 17  $  olur.

$ Veya $

$  k_1=1 ,k_2=9 ,k_3=10 $  $ve$  $ b_1=9 ,b_2=1 ,b_3=0   $  bulunur.
 
$ Bu $ $durumda $ $ da $ $ toplam $ $ kırmızı $ $ top $ $sayısı $ $=  1 + 9  + 10  = 20  $  olur.

Ancak topların ağırlıkları farkı $ 13 $ olduğundan ağırlığı $ 12 $ gelen öbekde kırmızı top bulunmaması gerekir.

$Verilene$ $göre$  $Yanıt$ $C $   $olmaktadır.$