Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 10

[matematikolimpiyati]

Bir masa üzerindeki taşların bazıları kırmızı, bazıları beyaz renktedir ve kırmızı taşların sayısı beyaz taşların sayısından bir fazladır. Her taşın ağırlığı $1$, $15$ veya  $50$ gramdır. Beyaz taşların toplam ağırlığı $B$ ve kırmızı taşların toplam ağırlığı $K$ olsun. $B>K$ ise $B-K$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 6$

[vedatde]

Kırmızı ve beyaz taşların sayısı sırasıyla $k_1 $ ,$k_2 $ ,$k_3 $ ,   $b_1$ ,$b_2 $ ,$b_3 $ olsun.

$   b_1+  b_2+  b_3=-1+k_1+  k_2+  k_3 $

$  B-K>0 $

$  b_1+  15b_2+  50b_3-k_1-  15k_2-  50k_3>0 $

$  (b_1+  b_2+  b_3 )-(k_1+  k_2+  k_3 )+14(b_2-k_2 )+49(b_3-k_3 )>0 $   

$  -1+14(b_2-k_2)+49(b_3-k_3 )>0 $ 

$  -1+7[2b_2-2k_2+7b_3-7k_3] >0 $ 

Son yazılan ifadenin en küçük pozitif değeri 

$ 2b_2-2k_2+7b_3-7k_3=1 $
 
$-1+7 = 6>0 $

durumunda oluşur.

Örneğin  $ b_2-k_2=4 $ ve $ b_3-k_3=-1 $
   
$-1+56-49=6>0 $

$B-K$ sayısının alabileceği en küçük pozitif değeri $ 6  $ olmaktadır.;
 
Yanıt C