Harmonik Dörtgen ve Özellikleri

[Lokman Gökçe]

Harmonik dörtgen, karşıt kenarlarının çarpımlarının eşit olduğu bir kirişler dörtgenidir.

$ABCD$, $O$ çevrel merkezli bir harmonik dörtgen olsun. Bazı özellikler şunlardır:

1. Çevrel çembere $A$, $C$ noktalarından çizilen teğetler ve $BD$ doğrusunun bir $E$ noktasında kesiştiğini kanıtlayınız.

2. $[BE]$ üzerinden bir $F$ noktasını $|EF|=|EA|$ olacak şekilde alalım. $AEC$ üçgeninin çevrel çemberi $BD$ doğrusu ile $N$ noktasında kesişsin. $F$ noktası $ACN$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezidir, ispatlayınız.

3. $O, N, A, E, C$ noktaları çemberseldir, ispatlayınız.

4. Harmonik bir dörtgenin köşegenlerinin simedyan olduğunu kanıtlayınız.

[Lokman Gökçe]

Özellik 1'in İspatı: Çemberin $A$ ve $C$ noktalarındaki teğetleri $E$ noktasında kesişsin. $EB$ doğrusunun çemberi kestiği ($B$ den farklı olan) nokta $D'$ olsun. ($D'$ noktasının konumu, küçük $AC$ yayı üzerindedir.) $D$ ile $D'$ noktalarını çakıştığını ispatlayacağız. $ABE \sim D'AE$ olduğundan $\dfrac{|AD'|}{|AB|} = \dfrac{|D'E|}{|BE|}$ dir. Benzer şekilde $\dfrac{|CD'|}{|CB|} = \dfrac{|D'E|}{|BE|}$ olur. Böylece  $\dfrac{|AD'|}{|AB|} = \dfrac{|CD'|}{|CB|} $ olur. Diğer yandan $ABCD$ harmonik dörtgen olarak verildiğinden karşılıklı köşegenlerinin çarpımı eşittir. Buradan $\dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{|CD|}{|CB|} $ bulunur. Böylece,

$$  \dfrac{|AD'|}{|CD'|} = \dfrac{|AD|}{|CD|} \tag{1}$$

olur. Eğer $D$ ve $D'$ farklı noktalar ise $|AD| < |AD'|$ ve $|CD| > |CD'|$ (ya da $|AD| > |AD'|$ ve $|CD| < |CD'|$) olduğundan $(1)$ eşitliğinin sağlanması imkansızdır. Yani $D' = D$ olmalıdır.

Diğer bir deyişle, çevrel çemberin $A, C$ deki teğetleri ve $BD$ doğrusu $E$ noktasında kesişir. Bu üç doğrunun paralel olması durumunda da $E$ noktası sonsuza gidecektir ve projektif geometri yönünden de bu teorem doğru kalmaya devam eder.

[Lokman Gökçe]

Özellik 2'nin İspatı: Özellik 1'den dolayı $|EA| = |EF| = |EC|$ olduğunu not edelim. $ANCE$ kirişler dörtgeni verildiğinden $\angle ANE = \angle CNE$ olur. İç merkez lemmasından dolayı $F$ noktası $ANC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi olur.


İç merkez lemması'nı kullanmadan da kolayca bu problemi çözebiliriz. $E$ merkezli ve $|EA| = |EF| = |EC|$ yarıçaplı çemberde merkez açı - çevre açı bağıntısından $\angle FEC = 2\angle FAC$ dir. Ayrıca $AECN$ kirişler dörtgeninde $\angle NAC = \angle NEC$ olur. Böylece $\angle NAF = \angle CAF$ bulunur. Öte yandan $\angle ANE = \angle CNE$ olduğundan, $F$ noktası $ANC$ üçgeninde iç açıortayların kesim noktası (iç merkezi) olur.

[Lokman Gökçe]

Özellik 3'ün İspatı: $OA\perp AE$ ve $OC \perp CE$ olduğundan, $OAEC$ bir kirişler dörtgenidir. Çevrel çemberinin çapı da $[OE]$ dir. Özellik 2'de, $ANCE$ kirişler dörtgeni olarak tanımlandığından $O, N, A, E, C$ noktalarının $[OA]$ çaplı çember üzerinde olduğunu anlarız.

[Lokman Gökçe]

Özellik 4'ün İspatı: İlk olarak $\angle ONE = \angle OAE = 90^\circ$ olduğundan $|BN| = |ND|$ olduğunu not edelim. Yani $ABD$ üçgeninde $[AN]$ kenarortaydır.

$\angle NAF = \angle CAF = a$, $\angle ANF = \angle CNF = b$, $\angle NCF = \angle ACF = c$ diyelim. Ayrıca $\angle ABN =x$, $\angle CBN = y$ olsun. Çemberde teğet-kiriş açı ve çevre açılardan $\angle DAE = \angle DCA = \angle DBA = x$ ve $\angle DCE = \angle DAC = \angle DBC = y$ olur. $ANF$ üçgeninden $\angle AFE = a+b$ dir. $|EA| = |EF|$ olduğundan, $\angle EAF = \angle AFE = a+b$ dir. Öte yandan, $\angle EAF = x + y + a$ olduğundan $b = x + y$ elde edilir. $ABN$ üçgeninden $b = x + \angle BAN$ olduğundan $\angle BAN = y$ elde edilir. $\angle DAC = \angle BAN = y$ olduğundan, $ABD$ üçgeninde $AN$ kenarortay doğrusunun $AF$ açıortayına göre simetrisi $AC$ doğrusu olur. Yani $ABD$ üçgeninde $AC$ köşegeni bir simedyandır.

[Lokman Gökçe]

Görüldüğü gibi harmonik dörtgen şöyle de inşa edilebiliyor: Bir çembere dışındaki bir $E$ noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları $A$ ve $C$ olsun. $E$ den geçen bir doğru çemberi $D$ ve $B$ noktalarında kessin. (Belirlilik için $D$, $E$ ile $B$ arasında kalsın.) $ABCD$ dörtgenine harmonik dörtgen denir. Bazı kaynaklar tanımı bu yolla sunmaktadır. Bu halde, yukarıdaki tanımda verdiğimiz karşılıklı kenarların çarpımının eşit olması özelliği ise artık bir teorem olur.

Burada, dörtgenin isminin neden "harmonik" olduğunu açıklamazsak çalışma eksik kalacaktır. Aşağıdaki 5. özellik bunu açıklamaktadır.

5.a $ABCD$ karmonik dörtgeninin köşegenleri $P$ noktasında kesişiyor olsun. Bu durumda $E, D, P, B$ noktaları bir harmonik bölme oluşturur. Bunun anlamı, $\dfrac{|ED|}{|EB|} = \dfrac{|PD|}{|PB|}$ eşitliğinin sağlanmasıdır. Yönlü doğru parçaları ve çapraz oran gösterimi ile bu durum $(E, P; D,B) = -1$ ile ifade edilir.


Harmonik bölme kavramındaki "harmonik" teriminin nereden geldiğini de açıklayalım. Bu terim, harmonik ortalama kavramından ismini almaktadır. Şöyle bir özellik vardır:

5.b $\dfrac{|ED|}{|EB|} = \dfrac{|PD|}{|PB|} \iff$ $|EP|$ uzunluğu, $|EB|$ ve $|ED|$'nin harmonik ortalamasıdır. Bunu da ispatlayalım.

[Lokman Gökçe]

Özellik 5.a'nın İspatı: $|EP|=a$, $|ED|=b$, $|EB|=c$, $|AP|=x$, $|PC|=y$ ve $|EA|=|EC|=z$ ile gösterelim.

Çemberde $P$ ve $E$ noktalarına göre kuvvet uygulanırsa: $xy = (a-b)(c-a)$, $z^2 = bc$ olur. Ayrıca $ABC$ üçgeninde $|EP|=a$ için Stewart teoremi uygulanırsa $a^2 = \dfrac{z^2x + z^2y}{x+y} - xy$ olur. Düzenlersek $a^2 = z^2 - xy$ olur. Önceki bulduğumuz eşitlikleri burada yazarsak $ab + ac = 2bc \implies a=\dfrac{2bc}{b+c}$ elde edilir. Yani $a$, $b$ ve $c$'nin harmonik ortalamasıdır.

Aşağıdaki kısmı da ispatlayarak harmonik ortalamanın, harmonik oran eşitliğine denk olduğunu gösterelim.


Özellik 5.b'nin İspatı: $\dfrac{|ED|}{|EB|} = \dfrac{|PD|}{|PB|} \iff \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c-a} \iff ab + ac = 2bc \iff a = \dfrac{2bc}{b+c}$ elde edilir.

[Lokman Gökçe]

Özellik 2 için, iç merkez lemmasını kullanmadan da kolay bir çözüm verebiliriz.

Özellik 2'nin 2. İspatı: $|EA|=|EF|=|EC|$ olduğundan $AFC$ üçgeninin çevrel merkezi $E$’dir. Merkez açı - çevre açı ilişkisinden $\angle AEF = \angle ACF$ olur. Ayrıca $ANCF$ kirişler dörtgeni olduğundan $\angle AEN = \angle ACN$’dir. Böylece $\angle ACF = \angle NCF$ olur. Benzer şekilde $\angle CAF = \angle NAF$ bulunur. O halde $F$ noktası $ACN$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezidir.

[Lokman Gökçe]

Özellik 4'ün 2. İspatı: İlk olarak $\angle ONE = \angle OAE = 90^\circ$ olduğundan $|BN| = |ND|$ olduğunu not edelim. Yani $ABD$ üçgeninde $[AN]$ kenarortaydır. Şimdi çemberlerde çevre açı ve merkez açı özelliklerini kullanacağız.

$ABCD$ kirişler dörtgeninde $\angle DAC = \angle DBC = x$ ve $\angle ABD = y$ diyelim. $O$ merkez olduğundan, $\angle AOC = 2\angle ABC = 2x + 2y$ olur. $ANC$ üçgeninde $F$ iç merkez olduğundan, $\angle ANF = \angle CNF = x + y$ olur. $ABN$ üçgeninin açılarından $\angle NAB = x$ bulunur.

$\angle DAC = \angle NAB$ ve $\angle NAF = \angle CAF$ olduğundan $ABD$ üçgeninde $AN$ kenarortay doğrusunun $AF$ iç açıortayına göre simetrisinin $AP$ doğrusu olduğunu buluyoruz. Yani $[AP]$, $ABD$ üçgeninde bir simedyandır. Benzer şekilde $[CP]$, $CBD$ üçgeninde bir simedyandır.


Not: $ABCD$ harmonik dörtgeninde, çevrel çembere $B$ ve $D$’de teğet olan doğrular da $AC$ doğrusu üzerinde kesişir. $ABC$ üçgeninde $[BP]$, $ADC$ üçgeninde de $[DP]$ birer simedyandır.

[Lokman Gökçe]

6. $ABCD$ harmonik dörtgen ise $\angle BAD$ ve $\angle BCD$'nin açıortayları $BD$ üzerinde kesişir.


Özellik 6'nın İspatı: Öz. 2'de $F$ noktasını $ANC$ üçgeninin iç merkezi olduğunu söylemiştik. Ayrıca Öz. 4'te (simedyan problemi) $\angle BAN = \angle DAP$ bulmuştuk. Böylece $\angle BAF = \angle DAF$ elde edilir.

Benzer şekilde $\angle BCF = \angle DCF$ olur. Yani harmonik dörtgende karşılıklı iki iç açının açıortaylarının diğer köşeden geçen köşegen üzerinde kesiştiğini anlarız. 

[Lokman Gökçe]

Simedyan özelliğini kullanmadan çok daha kolayca bunu ispatlayabiliriz.

Özellik 6'nın 2. İspatı: $ABCD$ harmonik dörgeninde $\angle BAD$'nin açıortayı $BD$'yi bir $F$ noktasında kessin. İç açıortay teoreminden $\dfrac{|AB|}{|AD|}=\dfrac{|BF|}{|DF|}$ yazılır. Ayrıca harmonik dörtgende $|AB|\cdot |CD| = |AD|\cdot |BC|$ olduğundan $\dfrac{|CB|}{|CD|}=\dfrac{|BF|}{|DF|}$ elde edilir. Bu ise $BCD$ üçgeninde $[CF]$'nin iç açıortay olduğunu gösterir.


Not: Tersine olarak, $ABCD$ kirişler dörtgeninde $A$ ve $C$ gibi karşı durumlu iki köşeden çizilen iç açıortaylar $BD$ köşegeni üzerinde bir $F$ noktasında kesişiyorsa $ABCD$ dörtgeni harmonik olur. Bunun ispatı da yukarıdaki adımlar tersine çevrilerek yapılır.

$BAD$ ve $BCD$ üçgenlerinde iç açıortay teoremini uygularsak $\dfrac{|AB|}{|AD|}=\dfrac{|BF|}{|DF|}$ ve $\dfrac{|CB|}{|CD|}=\dfrac{|BF|}{|DF|}$ olup buradan $\dfrac{|AB|}{|AD|}= \dfrac{|CB|}{|CD|}$ elde edilir. Çapraz çarpım yapılırsa $|AB|\cdot |CD| = |AD|\cdot |BC|$ olur. Yani $ABCD$ dörtgeni harmoniktir.

Sonuç: O halde $ABCD$ kirişler dörtgeninin harmonik olması için gerek ve yeter şart, karşı durumlu iki köşeden gelen iç açıortayların diğer iki köşeden geçen köşegen üzerinde kesişmesidir.

[Lokman Gökçe]

7. $ABCD$ kirişler dörtgeninde köşegenler $P$ noktasında kesişsin. $[AC]$ köşegeninin orta noktası $N$ olsun. $\angle ADP = \angle CDN$, yani $[DP]$, $ACD$ üçgeninde bir simedyan ise $ABCD$ dörtgeninin harmonik olduğunu gösteriniz.