Tübitak Lise 1. Aşama 2002 Soru 34

[geo]

$3n^2 + 3n + 7$ sayısının tam küp olmasını sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

$3n^2 + 3n + 7 = (n+1)^3 - n^3 + 6$ denklemini $\bmod 9$ da inceleyelim:

$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline n & n^3 & (n+1)^3 - n^3 + 6 \\
\hline 0 &  0 & 7  \\
\hline 1 &  1 & 4  \\
\hline 2 &  8 & 7  \\
\hline 3 &  0 & 7  \\
\hline 4 &  1 & 4  \\
\hline 5 &  8 & 7  \\
\hline 6 &  0 & 7  \\
\hline 7 &  1 & 4  \\
\hline 8 &  8 & 7  \\
\hline
\end{array}$

Tablodan da görüleceği üzere $3n^2+3n+7$ ifadesi $\bmod 9$ da hiçbir zaman bir tam küple aynı kalanı bırakmıyor. Bu durumda çözüm kümesi boş kümedir.

[geo]

$3n^2+3n+7=3n(n+1)+7 = m^3 \equiv 0, 1, 8 \pmod 9$
$0$ ve $8$ sağlamaz; çünkü $3 \not \mid 3n(n+1)+7-m^3$.
$3n^2+3n+7 \equiv 1 \pmod 9 \Longrightarrow 3n^2+3n+6 = 9k \Longrightarrow n^2+n+2 = 3k$. Bunu da $\bmod 3$ te incelersek hiçbir $n$ sayısı tarafından sağlamadığını görürüz.