$3n^2=m^3+16m$ ifadesine $3$ modunda bakarsak
$(0,0)$ açık bir çözümdür
$m>0$ olacağı açıktır. Genelliği bozmadan $n>0$ alabiliriz.
$m\cdot (m^2+16)\equiv 0\pmod 3 $ gelecektir. Bu ise bize hızlıca $m\equiv 0 \pmod 3 $ bilgisini verir.
$m=3k$ dönüşümü yapılır düzenlenirse denklem
$n^2=k\cdot (9k^2+16)$ olur.
$(k,9k^2+16)=(k,16)\in \{ 1,2,4,8,16\}$ olabilir.
$1)$
$(k,9k^2+16)=1$ ise
$9k^2+16$ ile $k$ ayrı ayrı birer tam sayının karesidir.
$k\ge 3$ sayıları için $9k^2<9k^2+16<9k^2+6k+1$ olacağından bir tam sayının karesi olamaz.
$k=2$ değerinin de tam kare olmadığı açıktır.
$k=1$ olmalıdır. $k=1$ için $m=3$ $n=5$ çözümleri elde edilir.
$2)$ $(k,9k^2+16)=2$ ise $k=2q$ dönüşümü yapılabilir.
$2q\cdot (36q^2+16)=n^2$ olur. $(q,18q^2+8)=1$ olacağından dolayı $q$ tek bir sayıdır.
$q$ tek bir sayı olduğuna göre $2q\cdot (36q^2+16)$ ifadesi $8 \pmod {16}$ vereceğinden dolayı bir tam sayının karesi olması mümkün değildir.
$3)$ $(k,9k^2+16)=4$ ise $k=4q$ dönüşümü yapılabilir.
$4q\cdot(9\cdot 16q^2+16)$ ifadesi bir tam kare olmalıdır. düzenlersek $8^2\cdot q\cdot (9q^2+1)$ bir tam kare olmalıdır. Fakat $q>1$ sayıları için $9q^2<9q^2+1<9q^2+6q+1$ olduğundan dolayı çözüm yoktur.
$4)$ $(k,9k^2+16)=8$ ise $k=8q$ dönüşümü yapılabilir. $q$ nun tek sayı olduğu açıktır. $128 \pmod{256}$ kalanı vereceğinden dolayı bir tam sayının karesi olması mümkün değildir.
$5)$ $(k,9k^2+16)=16$ ise $k=16q$ dönüşümü yapılabilir.
$16q\cdot(9\cdot256q^2+16)$ bir tamkare olmalıdır. $16^2\cdot q \cdot (144q^2+1)$ bir tam kare olmalıdır. Fakat $q\ge 1$ için $(12q)^2<144q^2+1<(12q+1)^2$ eşitsizliği geçerli olduğundan mümkün değildir.
Denklemin çözümleri $n>0$ kabul edildiğinde $(3,5)$ bulunmuştu. O halde $(3,-5)$ te bir çözümdür. İlk başta vurguladığımız $(0,0)$ çözümünü de dikkate alırsak çözüm kümesi $ \{(3,-5),(0,0),(3,5)\}$ olarak bulunur ve $3$ çözümü vardır.
