Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2013 Soru 3

[geo]

$|AC|>|AB|$ koşulunu sağlayan bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarına sırasıyla, $D$ ve $E$ noktalarında teğet olan bir çember, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberini $K$ ve $L$ noktalarında kesiyor. Sırasıyla, $[AB]$ ve $[AC]$ kenarları üstünde yer alan $X$ ve $Y$ noktaları $$\dfrac {|AX|}{|AB|} = \dfrac {|CE|}{|BD| + |CE|} \text { ve } \dfrac {|AY|}{|AC|} = \dfrac {|BD|}{|BD| + |CE|}$$ eşitliklerini sağlıyorsa, $XY$, $BC$, $KL$ doğrularının noktadaş olduğunu kanıtlayınız.

(Fehmi Emre Kadan)

[geo]

$KL$ ile $BC$, $P$ noktasında kesişsin.
$[PB$ ışını teğet çemberi sırasıyla $R$ ve $S$ de kessin.
$P$ nin iki çembere göre kuvveti de $PK\cdot PL$ olduğu için; $$PB \cdot PC = PR \cdot PS \tag{1}$$
$(1)$ in her iki tarafından $PB \cdot PR$ çıkartırsak $$PB \cdot (PC - PR) = PR \cdot (PS - PB)$$ $$ PB \cdot CR = PR \cdot BS \tag{2}$$
$(1)$ in her iki tarafından $PR \cdot PC$ çıkartırsak $$PC \cdot (PB - PR) = PR \cdot (PS - PC)$$ $$ PC \cdot BR = PR \cdot CS \tag{3}$$
$(2)$ yi $(3)$ e oranlarsak $$ \dfrac{PB}{PC} = \dfrac{BR \cdot BS}{CS \cdot CR} \tag{4}$$
$B$ ve $C$ nin teğet çembere göre kuvvetinden $$ \dfrac{PB}{PC} = \dfrac{BD^2}{CE^2} \tag{5}$$
$\triangle ABC$ de $X,Y,P$ noktaları için Menelaus uyguladığımızda, $$\dfrac{AX}{XB}\cdot \dfrac{BP}{PC}\cdot \dfrac{CY}{YA} = k \tag{6}$$
$k=1$ ise; $X,Y,P$ noktaları doğrusal olacak.
$$\dfrac {AX}{AB} = \dfrac{CE}{BD+CE} \Rightarrow \dfrac{AX}{XB} = \dfrac{CE}{BD} \tag{7}$$
$$\dfrac {AY}{AC} = \dfrac{BD}{BD+CE} \Rightarrow \dfrac{CY}{YA} = \dfrac{CE}{BD} \tag{8}$$
$(7)$, $(5)$ ve $(8 )$ i taraf tarafa çarptığımızda $$\dfrac{AX}{XB}\cdot \dfrac{BP}{PC}\cdot \dfrac{CY}{YA} = \dfrac{CE}{BD} \cdot  \dfrac{BD^2}{CE^2} \cdot \dfrac{CE}{BD} = 1 \tag{9}$$ $k=1$ ve dolayısıyla $X, Y, P$ noktalarının doğrudaş olduğunu göreceğiz. $\blacksquare$