Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 16

[ERhan ERdoğan]

Ağırlıkları pozitif tam sayılar olan herhangi  $2011$ taş, biri diğerinin iki katı ağırlıkta iki taş içermeyen $n$ öbeğe ayrılabiliyorsa, $n$ en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 102
\qquad\textbf{b)}\ 51
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 11
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)
Yanıt:$\boxed{E}$

Taşların ağırlıkları $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2011}$ olsun. $b_{i}$ ler tek pozitif tam sayı olacak şekilde $a_{i}=2^{k_{i}}.b_{i}$ dir. Şimdi eğer $k_{i}$ tek pozitif tam sayı ise $a_{i}$ yi birinci kümeye, $k_{i}$ çift pozitif tam sayı ise $a_{i}$ yi ikinci kümeye koyalım. O zaman şartlar sağlanmış olur. Bir küme olamayacağı için cevap ikidir.