Çevrel merkezleri birleştiren doğru

[mehmetutku]

$ABC$ üçgeninin $[BC]$ ve $[AC]$  kenarları üzerinde $[BD]=[AE]$  şartını sağlayacak şekilde $D$ ve $E$ noktaları alınıyor. $ADC$ ve $BEC$ üçgeninlerinin çevrel merkezlerini birleştiren doğru $[AC]$ ve $[BC]$ yi   $K$ ve $L$ noktalarında kesiyor. $[KC]=[LC]$  olduğunu ispatlayınız.

[ERhan ERdoğan]

$(ANE)$ ve $(BND)$ çemberlerinin ikinci kez kesiştiği noktaya $R$ diyelim.
$ARNE$ ve $BRND$ kirişler dörtgenlerine göre $\angle{RBD}=\angle{RNA}=\angle{REA}$ ve $\angle{RAE}=\angle{RNB}=\angle{RDB}$ olduğundan, $ARDC$ ve $BREC$ dörtgenleri de birer kirişler dörtgenidir.Yani $ADC$ ve $BEC$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin de ikinci kez kesiştiği nokta $R$ dir.
Ayrıca bulunan açı eşitlikleri ile verilen kenar eşitliğinden $ARE$ üçgeni ile $DRB$ üçgeninin eş üçgenler olduğunu görmekteyiz.Bu eşliğe göre, $AR=RD , BR=RE$ dir. $ARDC$ ve $BREC$ dörtgenlerinin kirişler dörtgeni olduğunu söylemiştik, o halde $CR$ doğrusu  için $\angle{ACR}=\angle{BCR}$ ve aynı zamanda bu doğru $(ADC)$ ve $(BEC)$ çemberlerinin kuvvet ekseni olduğundan merkezler doğrusuna da diktir.
Bütün bunlar $CKL$ üçgeni için $CK=CL$ olduğunu göstermektedir.