Aksini varsayalım, bu durumda $\frac{a^3+a^2+a+2}{a^3-a+3}\in\mathbb{Z}$ olacak şekilde bir $a$ tamsayısı vardır. Bu kesire tamsayı ekleyip çıkartırsak veya çarparsak yine tamsayı olacaktır. $$\frac{a^3+a^2+a+2}{a^3-a+3}\in\mathbb{Z}\implies \frac{a^2+2a-1}{a^3-a+3}\in\mathbb{Z}$$ olur. Şimdi pay ve paydanın pozitif olmadığı durumları inceleyelim. $$a^2+2a-1\leq 0\implies (a+1)^2\leq 2\implies a+1=-1,0,1\implies a=-2,-1,0$$ $$a^3-a+3\leq 0\implies a\leq -2$$ Yani $a$'yı pozitiflik-negatifliğine göre ayırmamız yeterlidir. $a=0$ için kesir, tamsayı olmaz.
$a>0$ ise $a^2+2a-1>0$ ve $a^3-a+3>0$ olacaktır. $a^3-a+3\mid a^2+2a-1$ olduğundan $$a^2+2a-1\geq a^3-a+3\implies 0\geq a^3-a^2-3a+4=(a-1)(a^2-3)+1\implies 1<a<\sqrt{3}<2$$ ancak bu da $a$'nın tamsayı olmasıyla çelişir.
$a=-2,-1$ ise kesir tamsayı olmaz. Eğer $a\leq -2$ ise, $a^3-a+3<0$ olacağından $$a^2+2a-1\geq -a^3+a-3\implies a^3+a^2+a+2=(a+1)(a^2+1)+1\geq 0$$ olacaktır ancak $a^2+1\geq 5$ ve $a+1\leq -1$ olduğundan $$(a+1)(a^2+1)+1\leq -5+1=-4<0$$ olduğundan çelişki elde edilir. Dolayısıyla hiçbir $a$ için $Q(a)\mid P(a)$ olamaz.
