1996 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 5

[matematikolimpiyati]

Merkezleri $O_1$ ve $O_2$ noktalarında olan iki çember $M$ ve $N$ noktalarında kesişiyorlar (çemberlerin yarıçapları farklı olabilir). $O_1M$ doğrusu birinci çemberi $A_1$, ikinci çemberi de $A_2$ noktasında; $O_2M$ doğrusu ise birinci çemberi $B_1$, ikinci çemberi de $B_2$ noktasında kesiyor. $A_1B_1$, $A_2B_2$ ve $MN$ doğrularının bir noktada kesiştiklerini kanıtlayınız.

[geo]

$A_1M$ çap olduğu için $\angle MB_1A_1 = \angle MNA_1 =90^\circ$.
$B_2M$ çap olduğu için $\angle MA_2B_2 = \angle MNB_2 =90^\circ$.
$A_1, N, B_2$ doğrusaldır.
$A_1MB_2$ üçgeninin yükseklikleri $A_1B_1$, $MN$, $B_2A_2$ üçgenin diklik merkezinde kesişir.