Gönderen Konu: 1996 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 2  (Okunma sayısı 1447 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.562
  • Karma: +4/-0
1996 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 2
« : Mart 22, 2023, 03:15:27 öö »
$u_1=1,\ u_2=1$ ve her $k \geq 1$ için $u_{k+2}=u_k+u_{k+1}$ olarak tanımlanan $(u_n)$ dizisi Fibonacci dizisi olarak bilinir. Her $k \geq 1$ için $u_{5k}$'nın $5$ ile tam bölündüğünü gösteriniz.

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.322
  • Karma: +9/-0
Ynt: 1996 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 2
« Yanıtla #1 : Mart 22, 2023, 08:14:31 ös »
$k=1$ için $u_5=5$ olduğundan iddia doğrudur. Şimdi $k=n$ için iddianın doğru olduğunu kabul edelim. $$u_{5(n+1)}=u_{5n+5}=u_{5n+4}+u_{5n+3}=2u_{5n+3}+u_{5n+2}$$ $$=3u_{5n+2}+2u_{5n+1}=5u_{5n+1}+3u_{5n}$$ olacaktır. Kabul gereği $5\mid u_{5n}$ olduğundan $5\mid (5u_{5n+1}+3u_{5n})$ ve $5\mid u_{5n+5}$ olacaktır. Dolayısıyla iddia $k=n+1$ için de doğrudur. Tümevarımdan, her $k\geq 1$ için doğrudur.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal