Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2017 Soru 3

[Eray]

Köşegenleri $E$ noktasında kesişen dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninde$$\dfrac{|AB|}{|CD|}=\dfrac{|BC|}{|AD|}=\sqrt{ \dfrac{|BE|}{|DE|} }$$eşitliği sağlanıyor. $ABCD$ nin paralelkenar veya kirişler dörtgeni olduğunu gösteriniz.

(Fehmi Emre Kadan)

[Bozkurt]

$|AB|=a$, $|BC|=b$ ve $|BE|=c$ olsun. $|AD|=bx$ diyelim. Bu durumda  $|CD|=ax$ ve $|ED|=cx^2$ olur. Alanlar oranının tabanlar oranına eşitliği kaidesinden ve sinüslü alan formülünden $Alan(ABC)/Alan(ADC)=c/cx^2=1/x^2=absinABC/abx^2sinADC=sinABC/x^2sinADC$ olur. Buna göre $sinABC=sinADC$ olup $m(ABC)=m(ADC)$ veya $m(ABC)+m(ADC)=180$ olacaktır. $m(ABC)=m(ADC)$ ise $BCA$ ve $DAC$ üçgenleri eş olur. Yani; bu ihtimalde $ABCD$ bir paralelkenardır. Eğer $m(ABC)+m(ADC)=180$ ise de $ABCD$'nin bir kirişler dörtgeni olacağı açıktır.