yükseklik-4 {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{A})=45^\circ$ dir. $A$, $B$, $C$ köşelerinden karşı kenarlara inilen yükseklik ayakları sırasıyla $D$, $E$, $F$ dir. $A$ noktasının $EF$ doğrusuna uzaklığı $6$ ise, $DEF$ üçgeninin çevresi nedir?

(Lokman GÖKÇE)

[Abdullah_71]

DEF üçgeni çizilirse ve ve ABC üçgenine ait dikmelerin kesim noktası , DEF üçgeninin iç açıortayların kesim noktası olduğu görülür.
m(DFC)=m(CFE)=x olsun ve açılar yerlerine yazılırsa , m(FED)=45-x olur ve dolayısıyla m(FDE)=90 olur.Gerekli açılar yerlerine yazılırsa m(ABE)=m(ACF)=45'dir.Buradan da görülür ki [BC] çaplı , D merkezli ve yarıçapı IFDI=IEDI=IBDI=IDCI olan çember çizilebilir.Öyleyse , DEF üçgeni ikizkenar dik üçgendir ve çevresi ise 6 + 6kök2 olarak bulunur.

Ayrıca trigonometrik çözümüde mevcuttur ama uzun olmaması dolayısıyla bu çözümü gönderdim.

[Lokman Gökçe]

... Buradan da görülür ki [BC] çaplı , D merkezli ve yarıçapı IFDI=IEDI=IBDI=IDCI olan çember çizilebilir.Öyleyse , DEF üçgeni ikizkenar dik üçgendir ve çevresi ise 6 + 6kök2 olarak bulunur.

Ayrıca trigonometrik çözümüde mevcuttur ama uzun olmaması dolayısıyla bu çözümü gönderdim.

Probleme giriş kısmınız doğru olmakla beraber, maalesef alıntı yaptığım kısım hatalıdır. $[BC]$ çaplı çemberin merkezinin $D$ olması için hiç bir gerekçe yok. Soruyu özelleştirip $D$ yi orta nokta kabul etseniz bile $6+6\sqrt2$ çevresi elde edilmeyecektir.

[Lokman Gökçe]

Önce ispatı kolayca yapılabilen şu lemmayı verelim:

Lemma: Bir dik üçgende dik açının köşesine göre dış teğet çemberinin yarıçapının $2$ katı, dik üçgenin çevresine eşittir.

Problemimizde $DEF$ ortik üçgendir ve $A$ noktası da ortik üçgenin $D$ köşesine göre dış teğet çemberin merkezidir. Bu çemberin yarıçapı $6$ veriliyor. $$ m(\widehat{BAC})=90^\circ - \frac{m(\widehat{EDF})}{2} $$ eşitliğinde $m(\widehat{BAC})=45^\circ$ yazılırsa $m(\widehat{EDF})=90^\circ $ elde edilir. Lemma'ya göre, $Çevre(DEF)=2\cdot 6 =12$ bulunur.