Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 25

[geo]

Bir $ABCD$ dikdörtgeninde, $E$, $F$, $G$ noktaları, sırasıyla $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ kenarları üstünde olmak üzere, $|BF| = |FG|$, $m(\widehat{FGE}) = 90^\circ$, $|BC| = 4 \sqrt 3/5$ ve $|EF| = \sqrt 5$ koşulları sağlanıyorsa, $|BF|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{\sqrt {10} - \sqrt 2}2
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt 3 -1
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt 3
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{\sqrt {11}-\sqrt 3}{2}
\qquad\textbf{e)}\ 1
$

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

$BF=FG=x$ olsun. $BE=EG=\sqrt {5-x^2}$ ve $FC = \dfrac {4\sqrt 3}{5} - x$ olacaktır.

$\angle FEB = \alpha$ dersek, $\angle GEF = \alpha$ ve $\angle GFC = 2\alpha$ olacaktır.

$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$ eşitliğini yazarsak $\dfrac {\dfrac {4\sqrt 3 }{5} - x}{x}  = 1 - 2\left ( \dfrac {x}{\sqrt 5}\right )^2$ elde ederiz. Biraz düzenlemeyle $x^3 - 5x + 2\sqrt 3 = 0$ denklemi elde edilir.
$x=\sqrt 3$ bu denklemin bir köküdür.
$x^3 - 5x + 2\sqrt 3= (x-\sqrt 3)(x^2 + \sqrt 3 \cdot x - 2)$ olacağı için diğer kökler $x_{2,3} = \dfrac {-\sqrt 3 \pm \sqrt {11} }{2}$ dir.
$BF < BC$ olması gerektiğinden $\sqrt 3 > \dfrac{4\sqrt 3} 5$ olduğu için $x_1 = \sqrt 3$ bir çözüm olarak gelmez.

Geriye pozitif tek bir kök kalıyor. $x_2 = \dfrac {\sqrt {11} - \sqrt 3}{2}$.

$\dfrac {4\sqrt 3} 5 > \dfrac {\sqrt {11} - \sqrt 3}{2} \Rightarrow 8\sqrt 3 > 5\sqrt 11 - 5\sqrt 3 \Rightarrow 13 \sqrt 3 > 5 \sqrt {11} \Rightarrow 169 \cdot 3 > 25 \cdot 11$ doğru olduğu için tek çözüm $x = \dfrac {\sqrt {11} -\sqrt 3}{2}$ dir.