Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 01

[Metin Can Aydemir]

$210^9$ doğal sayısının pozitif bölenlerinin kaç tanesi $4$, $9$, $25$, $49$ doğal sayılarından en az ikisi ile bölünür?

$
\textbf{a)}\  9984
\qquad\textbf{b)}\ 9744
\qquad \textbf{c)}\ 9728
\qquad \textbf{d)}\ 9648
\qquad\textbf{e)}\ 9216
$

[Dogukan6336]

Cevap : $\boxed C$

$210^9 = 3^9.7^9.2^9.5^9$  şeklinde asal çarpanlarına ayrılabilir. Pozitif çarpanları $4,49,25,9$  sayılarından en az ikisine bölünecekse, bu pozitif çarpanların sayısını

Olabilecek tüm pozitif çarpanlar - (sadece 1'ine bölünen çarpanlar + hiçbirine bölünmeyen çarpanlar)

Şeklinde düşünebiliriz. Bunu hesaplayalım. Olabilecek tüm pozitif çarpanlar $10.10.10.10 = 10^4$  tanedir. Hiçbirine bölünmeyen çarpanlar için, $2.3.5.7$ sayısının pozitif bölenlerine bakmalıyız. Çünkü bu çarpanlardan alacağımız herhangi bir pozitif bölen, $4,49,25,9$  sayılarından hiçbirine bölünmeyecektir. Bunların sayısı $ 2.2.2.2 = 2^4$  tanedir. Şimdi sadece 1 ine bölünen çarpanlara bakalım. Sadece $ 49$  a bölünen pozitif çarpanları bulalım.
 

$7^2.2^8.3^8.5^8.(7^7.2.3.5)$

şeklinde yazdığımızda, parantez içindeki sayının pozitif çarpanlarından her biri, $ 49$  a bölünecektir, fakat $9,25$  ve $ 4$  e bölünmeyecektir. Bu çarpanların sayısı $8.2.2.2 = 64$ tanedir. Bu işlemi $4$  sayısı için uygulayacak olsaydık, yine aynı sonucu bulacaktık. O halde sadece 1'ine bölünen $ 4.64 = 256$  tane çarpan var.

$10000 - (256 + 16) = 9728$