H-O merkezleri {çözüldü}

[ERhan ERdoğan]

$ABC$ üçgeninde $O$ çevrel çember, $H$ diklik merkezidir. $[AB]$üzerinde $|AD|=|DH|$ şartını sağlayan $D$ noktası için $\angle{ABH}=\angle{AOD}$ olduğunu gösteriniz.

[Eray]

$A,B,C$ köşelerinden inilen yükseklik ayakları sırasıyla $E,F,G$ olsun.
$m(\widehat{BAE})=a \Rightarrow m(\widehat{ABC})=90-a$ olur ve $ABC$ üçgenin çevrel çemberinde $\widehat{B}$ çevre açısını gören $\widehat{AOC}$ merkez açısının ölçüsü $180-2a$ olur. $[OA]$ ve $[OC]$ yarıçap olduğundan $\Delta{AOC}$ ikizkenar üçgendir, dolayısıyla $m(\widehat{OAC})=m(\widehat{OCA})=a$ olur.
Açı-açı'dan $\Delta{ADH}\sim\Delta{AOC}$'dir. Yani $\dfrac{|AD|}{|AO|}=\dfrac{|AH|}{|AC|}$'dir.
$m(\widehat{DAO})=m(\widehat{CAH})$ ve $\dfrac{|AD|}{|AO|}=\dfrac{|AH|}{|AC|}$ olduğundan kenar-açı-kenar'dan $\Delta{DAO}\sim\Delta{HAC}$'dir. Dolayısıyla $m(\widehat{AOD})=m(\widehat{ACH})$'tır.
Öte yandan, $m(\widehat{BGC})=m(\widehat{BFC})=90$ olduğundan $BGFC$ kirişler dörtgenidir, yani $m(\widehat{ACH})=m(\widehat{ABH})$'tır. O halde $m(\widehat{AOD})=m(\widehat{ABH})$'tır.