Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 02

[geo]

$n < 2005$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $n$ sayısının, hiçbiri $5$ ile bölünmeyen tüm $a_1, a_2, \dots , a_n$ pozitif tam sayıları için, $a^4_1 +a^4_2 +\cdots+a^4_n$ sayısının $5$ ile bölünmesini sağlayan en büyük değeri nedir?

$
\textbf{a)}\ 2000
\qquad\textbf{b)}\ 2001
\qquad\textbf{c)}\ 2002
\qquad\textbf{d)}\ 2003
\qquad\textbf{e)}\ 2004
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$(a_i,5)=1$ olduğundan küçük Fermat teoreminden $a_i^4\equiv 1\pmod{5}$ olacaktır. Dolayısıyla $$a_1^4+a_2^4+\cdots+a_n^4\equiv n\equiv 0\pmod{5}$$ olacaktır. $2005$'den küçük en büyük $5$'in katı sayı $2000$'dir.