Geomania.Org Forumları

$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ işleminin sonucu kaçtır?

$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=a+b\sqrt{5}$ olacak şekildeki $a$  ve  $b$  rasyonel sayılarını bulunuz.

$\begin{array}{rcl}
2\sqrt {1-x^2}\sqrt{1-y^2}&=&2xy-1\\
21\sqrt {1-x^2}-10\sqrt {1-y^2}&=&11\\
21x+10y &=&?
\end{array}$

Kaç $a$ tam sayısı için $$\begin {array} {rll}
x^2 + y^2 + a^2 &=& 32 \\
x+y-a &=& 8 
\end{array}$$ denklem sisteminin

• gerçel sayılarda
• tam sayılarda

çözümü vardır?

1-) $a,$$b,$$c$ ≥ $0$ ve $ab+bc+ca=3$. Gösteriniz ki
     
                           
                                $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}≥3\sqrt{2}$
                                     
                                       (RMM- Phan Ngoc Chau)

2-) $a,$$b,$$c$ ≥ $0$ ve $abc+ab+bc+ca=4$. Gösteriniz ki

                           
                           
                                  $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}≥3\sqrt{2}$
                                   
                                                           (AoPS Sqing)

3-) $a,$$b,$$c$ ≥ $0$ reel sayılardır ve $abc+ab+bc+ca=20$. Gösteriniz ki


                               $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}≥3\sqrt{2}$
                                         
                                                    (Hüseyin Emekçi)


4-) $a,$$b,$$c$ ≥ $0$ reel sayılardır ve $abc+ab+bc+ca=54$. Gösteriniz ki


                                $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}≥6$

                                                           (AoPS Sqing)


5-) $a,b,c\geq 0 $ ve $ab+bc+ca+abc=54$. Gösteriniz ki


$$\sqrt{a+1}+4\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}≥ 10$$

Müsait olan arkadaşlar bakabilir mi

$x,y,z\in \mathbf{R^+}$ olmak üzere $x+y+z=2$ ise

$$
\frac{(x-1)^2}{y}+\frac{(y-1)^2}{z}+\frac{(z-1)^2}{x}\geqslant\frac14\left(\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{z^2+x^2}{z+x} \right).
$$

olduğunu gösteriniz.

(Hüseyin Emekçi)
$y_{1},y_{2},...,y_{n},x,p,n\in \mathbf{R^+}$ pozitif reeller ve $n> p>2$ tamsayılar sağlanıyor, $a_{1},a_{2},...,a_{n}\geq 1$ tamsayılar, $m\geq 1$ olmak üzere


                                      $$\displaystyle \sum_{y_{i},i=1}^{i=p} {\sqrt[\dbinom{
n-1}{p-1}]{\frac{xy_{1}^{\frac{4m(n-1)!}{(n-p)!}} +k^2x}{\prod_{a_{1}+a_{2}+...+a_{p}=n}{(a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+...+a_{p}y_{p})}}}}\geq \sqrt[\dbinom {n-1}{p-1}]{2xk}.2\binom{n+1}{p-1}\frac{\left(\frac{y_{1}+y_{2}+...+y_{n}}{p}\right)^{2m(p-1)!-1}}{n(n+1)}$$


olduğunu gösteriniz. Eşitlik durumu ne zaman sağlanır, belirleyiniz.

Lemmanın özel halleri için eşitsizlik 3 ve eşitsizlik 4 e bakabilirsiniz

(Hüseyin Emekçi)
$a,b,c,x,t\in \mathbb{R^+}$, $a+b+c=k$ ve $x\geq 2$ olmak üzere

$$ \frac{t-\sqrt{a}}{\sqrt{c+xa}}+\frac{t-\sqrt{b}}{\sqrt{a+xb}}+\frac{t-\sqrt{c}}{\sqrt{b+xc}}\geq \frac{3}{\sqrt{x+1}}\left(t\sqrt{\frac{3}{k}}-1 \right) $$

olduğunu gösteriniz.


Lemma'nın Daha Özel Hali:
$a,b,c,x\in \mathbf{R^+}$, $a+b+c=k$ ve $x\geq 2$ olmak üzere

$$ \frac{2-\sqrt{a}}{\sqrt{c+xa}}+\frac{2-\sqrt{b}}{\sqrt{a+xb}}+\frac{2-\sqrt{c}}{\sqrt{b+xc}}\geq \frac{3}{\sqrt{x+1}}\left(2\sqrt{\frac{3}{k}}-1 \right) $$


Not: İkisini de hazırlarken Eşitsizlik 136'dan esinlenip genelleştirdim. Bu lemmanın kullanım alanı olarak probleme buradan ulaşabilirsiniz.

1000000, 0100000, 0010000,..., 0000001  dizisindeki herhangi iki elaman alınarak toplanıyor. Bu şekilde an az kaç adımda tüm terimlerdeki 0 lar ile 1 ler yer değiştirir.

cd iki basamaklı asal sayı olmak üzere  dört basamaklı abcd  şeklinde kaç tane asal sayı vardır?

(Hüseyin Emekçi):
$x,y,z,a,b,c\in \mathbf{R^+}$ ve $x+y+z=k$ olmak üzere

     
                                   $$\frac{1}{\sqrt{x(ay+bz)}}+\frac{1}{\sqrt{y(az+bx)}}+\frac{1}{\sqrt{z(ax+by)}}\geq 3\sqrt{\frac{9}{k^2(a+b)}}$$


olduğunu gösteriniz.

(Hüseyin Emekçi)
$a,b,c, x, y, z \in \mathbf{R^+}$ ve $x+y+z\leq 3$ olmak üzere

                    $$(a+2b)(b+2c)(c+2a)\leq 3(a+b+c)(\frac{a^2}{\sqrt{x}}+\frac{b^2}{\sqrt{y}}+\frac{c^2}{\sqrt{z}})$$


olduğunu gösteriniz.

(Hüseyin Emekçi)
$a,b,c,x,n\in \mathbf{R^+}$ pozitif reeller, $i,j,s\geq 1$ tamsayılar,  $n\geq 4$ ve $k\geq 2$ olmak üzere


                                      $$\displaystyle \sum_{k=a}^c {\sqrt[\dbinom{
n-1}{2}]{\frac{xa^{4m(n-1)!} +4x}{\prod_{i+j+s=n}{(ia+jb+sc)}}}}\geq \sqrt[\dbinom {n-1}{2}]{4x}.2.\binom{n+1}{2}\frac{\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{4m-1}}{n(n+1)}$$


olduğunu gösteriniz.

(Hüseyin Emekçi)
$a,b,c,x,n\in \mathbf{R^+}$, $n\geq 2$ ve $m\geq \frac{1}{2}$ olmak üzere


                                      $$\sum{\sqrt[n-1]{\frac{xa^{8m(n-1)!} +9x}{\prod_{i+j=n}{(ia+jb)}}}}\geq \sqrt[n-1]{6x}\left(\frac{\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{4m-1}}{6n}\right)$$


olduğunu gösteriniz.

$a,b,c$ pozitif reeller olmak üzere


$$\dfrac{a}{a+5b+3c}+\dfrac{b}{b+5c+3a}+\dfrac{c}{c+5a+3b}\ge \dfrac{1}{3} $$


olduğunu gösteriniz.
AoPS

(Hüseyin Emekçi)
Lemma:
$a,b,c,x,p,s,k\in \mathbf{R^+}$ , $k\geq \frac{1}{2}$ ve $a+b+c=t$ olmak üzere



$$\frac{a^{2k-1}+p}{xb+s}+\frac{b^{2k-1}+p}{xc+s}+\frac{c^{2k-1}+p}{xa+s}\geq \frac{9p+\frac{t^{2k-1}}{3^{2k-3}}}{xt+3s}$$



olduğunu gösteriniz. Eşitlik durumu ne zaman sağlanır, belirleyiniz.



Özelleştirilmiş Lemma:
$a,b,c,x,p,s\in \mathbf{R^+}$ ve $a+b+c=t$.


$$\frac{a^{7}+2}{xb+s}+\frac{b^{7}+2}{xc+s}+\frac{c^{7}+2}{xa+s}\geq \frac{\frac{t^{7}}{3^{5}}+18}{xt+3s}$$


olduğunu gösteriniz.

Soru Üzerinde Kullanımı:
$a,b,c\in \mathbf{R^+}$ ve $a+b+c=3$.


$$\frac{a^3+5}{b+2}+\frac{b^3+5}{c+2}+\frac{c^3+5}{a+2}\geq 6$$


olduğunu gösteriniz.

Bir $ABC$ üçgeninin kenarları olan $a$,$b$,$c$ için :

         
                        $$2+\sqrt{2}<\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+b}}+\frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{b+c}}+\frac{\sqrt{c}+\sqrt{a}}{\sqrt{c+a}}≤3\sqrt{2}$$

olduğunu gösteriniz. (AoPS)

Not: Kaynak taramasında sorunun sol tarafı için farklı bir değer olmalı ve o soru da AoPS de bulunuyormuş.

Müsaitseniz bakabilirmisiniz

$N=(155-1)^2-267$ sayısının kaç pozitif böleni vardır?

$\textbf{a)}\ 2\qquad\textbf{b)}\ 3\qquad\textbf{c)}\ 4\qquad\textbf{d)}\ 6\qquad\textbf{e)}\ 8$

(Hüseyin Emekçi)
Genelleştirilmiş Hali:

$x,y,z,a,b\in \mathbf{R^+}$ olmak üzere

                                 $$\boxed{\frac{x(ax-by)}{y(az+bx)}+\frac{y(ay-bz)}{z(ax+by)}+\frac{z(az-bx)}{x(ay+bz)}\geq 3\frac{a-b}{a+b}}$$

olduğunu gösteriniz.


Lemmanın Özelleştirilmesi:
$x,y,z,b,c\in \mathbf{R^+}$ olmak üzere

                                  $$\frac{7x^2-bxy}{7yz+bxy}+\frac{7y^2-byz}{7zx+byz}+\frac{7z^2-bzx}{7xy+bzx}\geq \frac{3a-21}{b+7}$$

olduğunu gösteriniz.


Soruda Kullanılışı:
1-)
$x,y,z\in \mathbf{R^+}$ olmak üzere

                                  $$\frac{x(2x-y)}{y(2z+x)}+\frac{y(2y-z)}{z(2x+y)}+\frac{z(2z-x)}{x(2y+z)}\geq 1$$

olduğunu gösteriniz.


2-)
$x,y,z\in \mathbf{R^+}$ olmak üzere

                                $$\frac{x(3x-y)}{y(3z+x)}+\frac{y(3y-z)}{z(3x+y)}+\frac{z(3z-x)}{x(3y+z)}\geq \frac{3}{2}$$

olduğunu gösteriniz.



Not:Her paydaki ve paydadaki $|b|$ katsayılı terimlerin soruda önemli rol oynadığı; paydadaki $xy$ teriminin katsayısı $b$ değil de $d$ olsaydı farklı sonuçlar ortaya çıkacağı su götürmez bir gerçektir.

(Hüseyin Emekçi)

1-)
$a,b,c$ pozitif reeller, $k\geq 1$ olmak üzere $a+b+c=\dfrac{k+1}{2k}$ ise


$$\dfrac{1}{kab+(k+1)c^2+(k+1)c}+\frac{1}{kbc+(k+1)a^2+(k+1)a}+\frac{1}{kca+(k+1)b^2+(k+1)b}$$
$$\geq \frac{1}{k(ab+bc+ca)}$$

olduğunu gösteriniz.

(Hüseyin Emekçi)

1-)
$a,b,c,k\in\mathbf{R^+}$ ve $k\geq 1$ olmak üzere $a+b+c=3$ ise

$$a^kb+b^kc+c^ka+3k\geq (k+1)(ab+bc+ca)$$

olduğunu gösteriniz.

 Soru 6 :

$a,$ $b,$ $c,$ $d$ pozitif reel sayılar olmak üzere, eşitsizliğin minimum değeri nedir?

                                       
                                 $$\frac{\left(a^2+b^2+2c^2+3d^2\right)\left(2a^2+3b^2+6c^2+6d^2\right)}{\left(a+b\right)^2\left(c+d\right)^2}$$


Orijinal soruyla aynı tipte iki soru türetirsek:

1-)
$a,$ $b,$ $c,$ $d$ pozitif reel sayılar olmak üzere, eşitsizliğin minimum değeri nedir?


                           $$\frac{\left(4a^2+6b^2+12c^2+18d^2\right)\left(3a^2+2b^2+6c^2+9d^2\right)}{\left(a+b\right)^2\left(c+d\right)^2}$$


2-)
$a,$ $b,$ $c,$ $d$ pozitif reel sayılar olmak üzere, eşitsizliğin minimum değeri nedir?


                              $$\frac{\left(12a^2+3b^2+2c^2+8d^2\right)\left(24a^2+6b^2+16c^2+4d^2\right)}{\left(a+b\right)^2\left(c+d\right)^2}$$

Bir karenin ayritlari ve köşegenleri  mavi yada kırmızı kullanarak boyanacaktir.
A) 2 si mavi 4  ü  kırmızı
B) 3 ü mavi 3 ü kırmızı
Olmak uzere kaç farklı şekilde boyama yapılabilir. (Donmeler sonucu olusan  şekiller  özdeş  kabul edilecektir.)

Kombinatorik sorusu yardımcı olabilir misiniz arkadaşlar:

$29$ gün bir çiftlikte konaklayan Keloğlan'ın her biri $N$ tane şeker içeren $29$ tane torbası bulunuyor. Bu $29$ günün her birinde en az iki cüceden oluşan bir cüce grubu Keloğlan'ı ziyaret ediyor ve Keloğlan bir torbadaki bütün şekerleri o günkü misafir cücelere eşit olarak dağıtıyor. Herhangi iki günde Keloğlan'ı ziyaret eden cüce sayıları farklıysa, $N$ sayısının alabileceği en küçük değerin ondalık tabanda yazılımındaki rakamların toplamı kaçtır?

A) 9
B) 14
C) 21
D) 29



Not: Resim çok büyük olduğu için okunamıyordu. Resmi kaldırıp yazı formatında düzenledim. Forum kurallarında belirtildiği şekilde resim büyüklüklerine dikkat edelim lütfen (L. Gökçe).

$\sqrt{\dfrac{3^8+5^8+34^4}2} $ sayısını hesaplayınız (Çok ünlü bir üniversitenin giriş sınavında sorulduğu belirtilmiş)

Matkafasından Doğan Dönmez hocanın sorduğu bir soru.

$a$ ,$b$, $c$ gerçel sayıları için, $$\begin{array}{rcl} a+b+c &=& 2\\ a^2+b^2+c^2 &=& 2 \end{array}$$ ise, $abc$ çarpımının alabileceği değerleri bulunuz?

Makedonya 2010 Soru 2 Genelleştirilmiş (Hüseyin Emekçi):

$a,b,c,k\in \mathbb{R^+}$, $a+b+c=x$ ve $k\geq 1$ olmak üzere

$$\dfrac{a^k+k-1}{b+k-1}+\dfrac{b^k+k-1}{c+k-1}+\dfrac{c^k+k-1}{a+k-1}\geq \dfrac{3xk}{x+3k-3}$$

olduğunu gösteriniz.


Not: Asıl soruya bu bağlantıdan ulaşabilirsiniz.

AoPS'de gördüğüm, Antalya olimpiyatına da gidebilecek tarzda hoş bir toplam sorusu paylaşalım:

Aşağıdaki $S$  toplamını hesaplayınız.

$$S=\dfrac{2}{3+1}+\dfrac{2^2}{3^2+1}+\dfrac{2^3}{3^4+1}+\cdots+\dfrac{2^{n+1}}{3^{2^n}+1}$$

Soru (Metin Can Aydemir): Verilen trigonometrik denklemi çözünüz, $$\csc{x}-\cot{2x}=\sqrt{3}.$$

a^2+b^2+c^2+d^2=11*4^n   eşitliğini sağlayan kaç tane (a,b,c,d,n) tamsayi beşlisi vardır?

$a,b,c$ pozitif reeller ve $a+b+c=3$ olmak üzere

$$\sum_{cyc} \dfrac{a^{2}}{(b+c)^{3}}\geq \dfrac{3}{8}$$

olduğunu gösteriniz.

$a,b,c\in \mathbf{R^+}$ olmak üzere $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}=3$ ise


$$\frac{a+b}{a^2+ab+b^2}+ \frac{b+c}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c+a}{c^2+ca+a^2}\le 2$$

olduğunu gösteriniz

hesap makinesiz (98/100)^198 nasıl hesaplarsın ? ipucu:özyinelemeleri denklemler

$n \geq 1$ olmak üzere; $\phi (n)$ ile $n$ ile aralarında asal pozitif tam sayıların sayısını gösterelim. Buna göre $\phi(x)=16$ eşitliğini sağlayan kaç pozitif tam sayı vardır?

Kaynak: Elementary Number Theory, David M. Burton.