Geomania.Org Forumları

$ABC$ üçgeninin sırasıyla $\lbrack AB\rbrack $, $[BC]$, $ [CA]$ kenarları üstünde yer alan $D,E,F$ noktaları, $\vert AD\vert =\vert AF\vert $, $\vert BD\vert =\vert BE\vert $ ve $\vert DE\vert =\vert DF\vert $ koşullarını sağlıyor. $I$, $ABC$ üçgeninin iç merkezi olmak üzere; $ABI$ üçgeninin çevrel çemberine $A$ noktasında teğet olan doğru ile $BI$ doğrusu $K$ noktasında kesişiyor. $\vert AK\vert =|AD|$ ise, $\vert AK\vert =|KE|$ olduğunu kanıtlayınız.

Tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için, $$\begin{array}{r}  \sqrt[4]{\dfrac{(a^{2}+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})}{2}}+\sqrt[4]{\dfrac{(b^{2}+c)(b^{2}-bc+c^{2})}{2}}+\sqrt[4]{\dfrac{(c^{2}+a^{2})(c^{2}-ca+a^{2})}{2}}\\ \le \dfrac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right) \end{array}$$ olduğunu gösteriniz.

Yıl boyunca yaptığı sınavlarda $2010$ tane soru sormuş olan bir öğretmen, bu soruları her biri $670$ tane soru içeren üç dosyaya ayırarak, her dosyayı o dosyadaki soruların hepsini çözmüş olan bir öğrenciye vermek istiyor. Herhangi bir soruyu çözemeyen en çok iki öğrenci olması koşuluyla; hangi soru hangi öğrenciler tarafından çözülmüş olursa olsun, öğretmenin bunu yapmasının olanaklı olması için toplam öğrenci sayısının en az kaç olması gerektiğini belirleyiniz.

$0\le k<n$ tam sayılar ve $A=\lbrace a : a\equiv k \pmod n\rbrace $ olmak üzere, hiçbir $(a,m) \in A\times \mathbf{Z}^{+}$ için, $$ \dfrac{a^{m}+3^{m}}{a^{2}-3a+1}$$ ifadesinin değeri tam sayı değilse, $n $ nin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$ABC$ üçgeninin iç bölgesinde yer alan bir $D$ noktası için, $ BD\cap AC=\lbrace E\rbrace $ ve $CD\cap AB=\lbrace F\rbrace $ olmak üzere; $A,E,D,F$ noktaları çemberdeş ise, bu noktalardan geçen çemberi $\Gamma _{D}$ ile gösterelim. Tüm $\Gamma _{D}$ çemberlerinin $A$ dan farklı bir ortak noktadan geçtiğini gösteriniz.

$\Lambda $ düzlemdeki kafes noktalarının kümesi ve $\mathcal{F}$ de, $ \Lambda $ dan $\lbrace -1,1\rbrace $ kümesine fonksiyonların kümesi olsun. $\mathcal{F}$ deki bir $f$ fonksiyonu, $\mathcal{F}$ ye ait olan ve $f$ den farklı değer aldığı kafes noktalarının sayısı sonlu olan her $g$ fonksiyonu için, $$\sum\limits_{\substack{P,Q\in \Lambda \\0<\vert PQ\vert <2010}}{\dfrac{f(P)f(Q)-g(P)g(Q)}{\vert PQ\vert }}\ge 0$$ koşulunu sağlıyorsa, $f$ ye şahane diyelim. Birbirinin ötelemesi olmayan sonsuz çoklukta şahane fonksiyon bulunduğunu kanıtlayınız.