Geomania.Org Forumları

$A=\{-1,-2,-3,...,-97,-98\}$ kümesinin$,$ boş olmayan her alt kümesi için$,$ bu alt kümenin elemanlarının çarpımını hesaplayalım. Ortaya çıkan tüm çarpımların toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ -1  \qquad\textbf{b)}\ 0  \qquad\textbf{c)}\ 1  \qquad\textbf{d)}\ 98!-97!  \qquad\textbf{e)}\ 98!-1$

Şekildeki $ABC$ dik üçgeninde $m(\widehat{ACB})=90^{\circ},\ m(\widehat{BAC})=30^{\circ}$  ve  $m(\widehat{ECD})=m(\widehat{EBA})$ dır.

$CD \perp BE$  ve $|AC|=9$ birim ise $|AE|$ uzunluğu kaç birimdir?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 5\sqrt3  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 6\sqrt2  \qquad\textbf{e)}\ 7$

$b$ ve $c$ pozitif tam sayılar olmak üzere$,$ kaç $(b,c)$ ikilisi için $x^2-bx-c=0$ denkleminin kökleri $5$'ten büyük değildir?

$\textbf{a)}\ 25  \qquad\textbf{b)}\ 30  \qquad\textbf{c)}\ 40  \qquad\textbf{d)}\ 45  \qquad\textbf{e)}\ 50$

Şekilde$,\ 6$ satır ve $4$ sütunu olan tablonun sol alt köşesinden $(A$ noktasından$)$ sağ üst köşesine $(D$ noktasına$),$ çizgiler üzerinde sağa veya yukarıya hareket edilerek gidilecektir. $B$ ve $C$ noktalarının en az birinden geçmek koşuluyla$,$ kaç farklı yol izlenebilir?

$\textbf{a)}\ 118  \qquad\textbf{b)}\ 124  \qquad\textbf{c)}\ 122  \qquad\textbf{d)}\ 130  \qquad\textbf{e)}\ 132$

$p$ bir asal sayı ve $x>0,\ n \geq 0$  tam sayılar olmak üzere$,\ n^2 \cdot p < 1000$ ise

               $n^2+100 \cdot \dfrac{x}{p} = (n+x)^2$

denkleminin kaç tane $(x,n,p)$ çözüm üçlüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 25  \qquad\textbf{b)}\ 30  \qquad\textbf{c)}\ 32  \qquad\textbf{d)}\ 33  \qquad\textbf{e)}\ 35$

$n$ sayısı $3$ ile$,\ n+1$ sayısı $7$ ile ve $n+2$ sayısı da $11$ ile tam bölünecek şekildeki en küçük $n$ pozitif tam sayısının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 13  \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 9  \qquad\textbf{d)}\ 11  \qquad\textbf{e)}\ 12$

$ABC$ dar açılı üçgeninde $m(\widehat{C})=45^{\circ}$ 'dir. $A$'dan $BC$'ye indirilmiş dikmenin ayağı $E$  ve  $B$'den $AC$'ye indirilmiş dikmenin ayağı da $D$ olsun. Eğer $|CE|=4$ ve $|EB|=3$ birim ise $|DE|$ uzunluğu kaç birimdir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{4}{\sqrt2}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{5}{\sqrt2}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{6}{\sqrt2}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{7}{\sqrt2}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Veriler yetersizdir.}$

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere$,\ a=\dfrac{n(n+1)}{2}$ biçimindeki sayıya bir üçgensel sayı denir. Buna göre$,\ a-b=90$ eşitliğini sağlayan kaç tane $(a,b)$ üçgensel sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 8$

$ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları tam sayılar olup$,\ |AC|=117$  birimdir. $\widehat{BAC}$ açısının açıortayının $BC$ kenarı ile kesişim noktası $D$ olsun. Eğer $|AB|=|DC|$ ise üçgenin $AB$ kenarının uzunluğunun rakamlar toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 14  \qquad\textbf{b)}\ 15  \qquad\textbf{c)}\ 13  \qquad\textbf{d)}\ 12  \qquad\textbf{e)}\ 16$

$f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$  fonksiyonu her $x,y \in \mathbb{Z}$ için

              $f(f(x)+y)-f(y+7)=x$

eşitliğini ve $f(2)=5$ koşulunu sağlasın. Bu durumda$,\ f(11)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ -4  \qquad\textbf{b)}\ -3  \qquad\textbf{c)}\ -2  \qquad\textbf{d)}\ 2  \qquad\textbf{e)}\ 7$

$a<b<c$  sayıları için $a+b=2c$  olursa $(a,b,c)$ üçlüsüne "aritmetik üçlü" diyelim. $A=\{1,2,3,...,n\}$ kümesinin elemanlarıyla oluşturulabilen tüm aritmetik üçlüler sayısının $99$'dan büyük olması için $n$ tek sayısı en az kaç olmalıdır?

$\textbf{a)}\ 21  \qquad\textbf{b)}\ 17  \qquad\textbf{c)}\ 19  \qquad\textbf{d)}\ 15  \qquad\textbf{e)}\ 23$

Yükseklikleri$,\ h_a \geq 3,\ h_b \geq 4$  ve  $h_c \geq 6$  eşitsizliklerini sağlayan üçgenler içinde alanı en küçük olan üçgenin alanı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 12  \qquad\textbf{d)}\ 14  \qquad\textbf{e)}\ 15$

$[1,\infty)$ aralığından alınmış kaç tane $x$ için

          $\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}< \sqrt{x+1}-1$

eşitsizliği sağlanmaz?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

Şekilde$,\ A,B,C,A_1,B_1$  ve  $C_1$  noktaları birer çember üzerinde olup$,\ M$ noktası $AA_1,\ BB_1,\ CC_1$  doğru parçalarının kesişim noktasıdır. Eğer $m(\widehat{CBB_1})=64^{\circ},\ m(\widehat{ACC_1})=16^{\circ}$  ve  $m(\widehat{ABB_1})=m(\widehat{CAA_1})=32^{\circ}$  ise  $m(\widehat{APM})$  açısı kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 70  \qquad\textbf{b)}\ 72  \qquad\textbf{c)}\ 74  \qquad\textbf{d)}\ 76  \qquad\textbf{e)}\ 78$

$x>0$  ve  $y>0$  olmak üzere$,$

              $9x+64y+\dfrac{1}{x^2y}$

ifadesinin alabileceği en küçük değer aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 24  \qquad\textbf{b)}\ 20  \qquad\textbf{c)}\ 18  \qquad\textbf{d)}\ 22  \qquad\textbf{e)}\ 30$

$n^2+1001 \cdot n$  ifadesini tam kare yapan en büyük $n$ pozitif tam sayısının rakamlar toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 8  \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ 11$

$A=\dfrac{\sqrt{1^2 \cdot 3^2 + 8 \cdot 1^2 -1}}{1 \cdot 3} + \dfrac{\sqrt{3^2 \cdot 5^2 + 8 \cdot 2^2 -1}}{3 \cdot 5} + \dfrac{\sqrt{5^2 \cdot 7^2 + 8 \cdot 3^2 -1}}{5 \cdot 7} + \cdots + \dfrac{\sqrt{23^2 \cdot 25^2 + 8 \cdot 12^2 -1}}{23 \cdot 25}$

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 12,12  \qquad\textbf{b)}\ 12,24  \qquad\textbf{c)}\ 12,32  \qquad\textbf{d)}\ 12,48  \qquad\textbf{e)}\ 12,54$

$4x^4-20x^3+17x^2+22x-2=0$ denkleminin köklerinden ikisinin çarpımı $-2$ ise bu iki kökün kareler toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 7  \qquad\textbf{d)}\ 8  \qquad\textbf{e)}\ 10$

$1$'den $9$'a kadar rakamların her birinin tam bir kez bulunduğu tüm dokuz basamaklı sayıları düşünelim. $1,2,3,4,5,6$ rakamlarının artan sırada bulunup da $1,2,3,4,5,6,7$ rakamlarının artan sırada bulunmadığı sayılara iyi sayılar diyelim. Örneğin$,\ 8\ \underline{1}\ 7\ \underline{2}\ \underline{3}\ \underline{4}\ 9\ \underline{5}\ \underline{6}$  ve  $9\ 7\ \underline{1}\ \underline{2}\ \underline{3}\ 8\ \underline{4}\ \underline{5}\ \underline{6}$ sayıları birer iyi sayıdır. Kaç tane iyi sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 372  \qquad\textbf{b)}\ 396  \qquad\textbf{c)}\ 414  \qquad\textbf{d)}\ 432  \qquad\textbf{e)}\ 456$

$\sqrt{7x-8} + \sqrt[3]{9-7x} =1$  denkleminin reel çözümlerinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{30}{7}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{31}{7}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{32}{7}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{33}{7}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{34}{7}$