1
$ab+bc+ca=1$ ve $${a^2}b + c = {b^2}c + a = {c^2}a + b$$
koşullarını sağlayan tüm $(a, b, c)$ gerçel sayı üçlülerini bulunuz.


2
$n$ bir pozitif tam sayı olsun. $2n \times 2n$ bir satranç tahtasının üzerine birkaç domino öyle yerleştirilmiştir ki, satranç tahtasının her birim karesinin tam olarak bir komşu birim karesi domino ile kapanmıştır. Her $n$ sayısı için, satranç tahtasının üzerine bu şekilde en fazla kaç domino yerleştirilebileceğini belirleyiniz.
(Domino $2 \times 1$ veya $1 \times 2$ boyutlu bit taştır. Dominolar satranç tahtasının üzerine her domino tam olarak iki birim kare kapayacak ve herhangi iki domino bir birim kareyi aynı anda kapamayacak şekilde yerleştirilmiştir. Komşu birim kareler birbirinden farklı olup ortak bir kenar paylaşan birim karelerdir).


3
$\angle{CAB} > \angle{ABC}$ olan bir $ABC$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezi $I$ noktasıdır. $[BC]$ doğru parçası üzerinde $\angle{CAD} = \angle{ABC}$ olacak şekilde bir $D$ noktası seçilmiştir. $AC$ doğrusuna $A$ noktasında teğet olan $ω$ çemberi $I$ noktasından geçiyor. $ω$ nın $ABC$ üçgeninin çevrel çemberini ikinci kez kestiği nokta $X$ olsun. $\angle{DAB}$ ve $\angle{CXB}$ nin açıortaylarının $BC$ doğrusu üzerinde kesiştiklerini
gösteriniz.


4
$ABC$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezi $I$ olsun. $AI$ doğrusuna $I$ noktasında teğet olan ve $B$ noktasından geçen çember $[AB]$ kenarını ikinci kez $P$ noktasında kesiyor. $AI$ doğrusuna $I$ noktasında teğet olan ve $C$ noktasından geçen çember $[AC]$ kenarını ikinci kez $Q$ noktasında kesiyor. $PQ$ nün $ABC$ üçgeninin içteğet çemberine teğet olduğunu gösteriniz.


5
$n\geq 2$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ verişmiş pozitif tam sayılar olsun. Aşağıdaki üç koşulu sağlayan $b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}$ pozitif tam sayılarının bulunduğunu gösteriniz.

$\left ( A \right )$  Her $i=1,2,\ldots,n$ ,için $a_i \geq b_i$
$\left ( B \right )$  $b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}$ sayılarının $n$ ile bölümünden kalanlar birbirinden farklıdır; ve
$\left ( C \right )$  $b_1 + \cdots + b_n \geq \left (\dfrac{n-1}{2}+\left \lfloor  \dfrac{a_1 + \cdots + a_n}{2} \right \rfloor  \right )$

(Burada $x$ gerçel sayısının tam degeri $\left \lfloor x \right \rfloor$ olarak gösterilmiştir, bu sayı $x$ den büyük olmayan en büyük tam sayıdır.)


6
Aslı bir çemberin $2019$ kirişini, herhangi iki kirisin uç noktaları birbirinden farklı olacak şekilde çiziyor. Bir noktanın $işaretli$ olması için onun

(i) kirişlerin $4038$ uç noktalarından biri; ya da

(ii) en az iki kirisin kesişim noktası olması gerekiyor.

  Aslı bütün işaretli noktaları etiketliyor. Aslı (i) koşulunu sağlayan $4038$ noktadan $2019$ tanesini $0$, kalan $2019$ tanesini $1$ ile etiketliyor. Aslı (ii) koşulunu sağlayan her noktayı bir tam sayı ile etiketliyor
(bu sayılar pozitif olma zorunda değiller).
  Aslı her kiriş için bu kirisin üstünde bulunan herhangi iki ardışık işaretli noktayı birleştiren tüm doğru parçalarını inceliyor. (Üstünde k işaretli nokta bulunan kirisin üzerinde bu tür tanımlanmış $k − 1$ doğru parçası bulunuyor.) Aslı bu doğru parçalarından her birini, bu doğru parçasının iki uç noktasının toplamına eşit olan sayı ile sarı renkte ve bu doğru parçasının iki uç noktasının farkının mutlak değerine eşit olan sayı ile mavi renkte etiketliyor.
  Aslı yazılan sarı etiket sayısının $N + 1$ olduğunu ve $0, 1, \ldots ,N$ sayılarından her birine eşit olan tam olarak bir sarı etiketin bulunduğunu gözlemliyor. Buna göre, en az bir mavi etiketin $3$ ün bir katı olduğunu gösteriniz.
(Kiriş çemberin iki farklı noktasını birleştiren doğru parçasıdır.)



Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal