Geomania.Org Forumları

$x^2+y^2+x+y=xy(x+y)-\dfrac{10}{27}$
                  $|xy| \leq \dfrac{25}{9}$

koşullarını sağlayan tüm $(x,y)$ gerçel sayı ikililerini bulunuz.

Bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde bir $P$ noktası alınıyor. $AP,BP,CP$ doğruları $BC,CA,AB$ kenarlarını sırasıyla $D,E,F$ noktalarında kesiyor. $[BE$ ışını üzerinde bir $Q$ noktası $E \in [BQ]$ ve $m(\widehat{EDQ})=m(\widehat{BDF})$ olacak şekilde alınıyor. $BE \perp AD$ ve $|DQ|=2|BD|$ ise $m(\widehat{FDE})=60^{\circ}$ olduğunu gösteriniz.

$a_1,a_2,...$ dizisi her $n$ pozitif tam sayısı için $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n a_{\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor} = n^{10}$ şartını sağlıyor. $c$ herhangi bir pozitif tam sayı olmak üzere$,$ her $n>1$ pozitif tam sayısı için

$\dfrac{c^{a_n}-c^{a_{n-1}}}{n}$ oranının tam sayı olduğunu gösteriniz.

Bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesine ait iç açıortay $BC$ kenarına teğet olan dış teğet çemberi $D \in [AE]$ olacak şekilde $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $\dfrac{|AD|}{|AE|} \leq \dfrac{|BC|^2}{|DE|^2}$ olduğunu gösteriniz.

$a_1,a_2,a_3,a_4$ pozitif tam sayıları bir çember etrafına yan yana olanlar aralarında asal olacak şekilde dizilemiyor.  $i,j,k \in \{1,2,3,4\}$ ve $i \neq j,\ j \neq k,\ k \neq i$ olmak üzere en çok kaç $(i,j,k)$ sıralı üçlüsü $(\text{ebob}(a_i,a_j))^2 \mid a_k$ şartını sağlar?

Başlangıçta masanın üzerinde birbirinden farklı $2018$ kutu bulunuyor. İlk aşamada Yazan ve Bozan, ilk hamleyi Yazan yapmak üzere, sırayla $2016$ şar hamle yapıyorlar ve her hamlede sırası gelen tahtada yazılı olmayan bir kutu ikilisi seçip tahtaya yazıyor. İkinci aşamada Bozan tahtadaki ikilileri $1$ den $4032$ ye kadar istediği gibi numaralandırıyor ve $k$ numaralı ikilideki kutulara $k$ şer top koyuyor. Bozan, kutulardaki top sayılarının birbirinden farklı olmasını garantileyebilir mi?