Geomania.Org Forumları

$|AB|=|AC|=12$ ve $|BC|=4$ olan bir $ABC$ üçgeninde $C$ köşesine ait iç açıortayın $[AB]$ kenarını kestiği nokta $D$ ve $[AC]$ kenarının orta noktası $E$ ise, $|DE|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 3\sqrt{2}
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{15}
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt{3}
\qquad\textbf{e)}\ \sqrt{13}
$

$3x^2y^3+y^3-21x^2=35$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ tam sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 2
\qquad\textbf{e)}\ 1
$

En az birer beyaz top içeren iki kutudan birincisindeki beyaz topların sayısı kırmızı topların sayısından $ \%25$ daha az, ikici kutudaki beyaz topların sayısı da kırmızı topların sayısından $\%20$ daha fazladır. İki kutudaki toplam beyaz top sayısı toplam kırmızı top sayısından $\%5$ daha fazla ise, toplam beyaz top sayısı toplam kırmızı top sayısından en az kaç tane fazla olabilir?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 3
$

$2014$ negatif olmayan gerçel sayı bir çemberin etrafına herhangi ardışık dördünün toplamı $19$ olacak biçimde yazılmışsa, bu sayılardan en büyüğü en fazla kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{19}{4}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{19}{2}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{21}{2}
\qquad\textbf{d)}\ 18
\qquad\textbf{e)}\ 19
$

$|AB|=9$ ve $|BC|=8$ olan bir $ABCD$ dikdörtgeninin $[AB]$ ve $[AD]$ kenarlarına teğet olup $C$ köşesinden geçen çemberin yarıçapı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $6n+15$ ve $10n +21$ sayılarının en büyük ortak böleni kaç farklı değer alabilir?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 6
$

$5^xx^2+125=5^{x+2}+5x^2$ denklemini sağlayan kaç $x$ gerçel sayısı vardır?
$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

Dört basamaklı pozitif tam sayılardan kaç tanesinin her bir basamağı asal sayı ve basamakları toplamı çifttir?
$
\textbf{a)}\ 136
\qquad\textbf{b)}\ 144
\qquad\textbf{c)}\ 150
\qquad\textbf{d)}\ 168
\qquad\textbf{e)}\ 172
$

$|AB|=32$ olmak üzere, $[AB]$ ye ve $[AB]$ çaplı $C_1$ çemberine içten teğet olan $C_2$ çemberinin yarıçapı $8$ birimdir. $[AB]$ ye, $C_2$ ye dıştan ve $C_1$ e içten teğet olan ve $AB$ doğrusuna göre $C_2$ ile aynı tarafta yer alan çemberin yarıçapı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 6
$

$8^{49}$ sayısının $343$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 8
\qquad\textbf{c)}\ 50
\qquad\textbf{d)}\ 64
\qquad\textbf{e)}\ 99
$

Bir matematik testindeki sorulardan Aslı'nın doğru yanıtladıklarının sayısı Banu'nun doğru yanıtladıklarının sayısının $7$ katı, Banu'nun yanlış yanıtladıklarının sayısı da Aslı'nın yanlış yanıtladıklarının sayısının $5$ katıdır. Her iki öğrenci de testteki tüm soruları yanıtladıklarına göre, ikisinin de yanlış yanıtladığı soruların sayısı en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

Altı tane $1$ ve beş tane $2$ rakamı kullanılarak yazılan $11$ basamaklı pozitif tam sayılardan kaç tanesinin herhangi ardışık beş basamağında en az üç tane $1$ vardır?

$
\textbf{a)}\ 18
\qquad\textbf{b)}\ 16
\qquad\textbf{c)}\ 14
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ 10
$

Aşağıdakilerden hangisi düzlemdeki beş doğrunun kesişim noktalarının kümesinin eleman sayısı olamaz?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 8
$

$2^{2014}+3^{2014}+4^{2014}+5^{2014}+6^{2014}$ toplamının $13$ ile bölümünden kalan nedir?

$
\textbf{a)}\ 12
\qquad\textbf{b)}\ 9
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 1
$

Toplamları $n$ ve kareleri toplamı $n+19$ olan iki gerçel sayı bulunmasını sağlayan en büyük $n$ pozitif tam sayısı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 7
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

$\{ 1,2, \dots , 33 \}$ kümesinin $k$ elemanlı her altkümesinde biri diğerinin iki katı olan iki eleman bulunuyorsa, $k$ en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 21
\qquad\textbf{b)}\ 22
\qquad\textbf{c)}\ 23
\qquad\textbf{d)}\ 24
\qquad\textbf{e)}\ 25
$

$AB // CD $ olmak üzere, bir $ABCD$ yamuğunun sırası ile $[AD]$ ve $[BC]$ kenarları üzerinden alınan $E$ ve $F$ noktaları için $ EF // AB $ dir. $|AB|=33$, $|CD|=9$ ve $ABFE$ yamuğunun alanı $CDEF$ yamuğunun alanının altı katı ise, $|EF|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 11
\qquad\textbf{b)}\ 12
\qquad\textbf{c)}\ 13
\qquad\textbf{d)}\ 14
\qquad\textbf{e)}\ 15
$

$(n-1)^3(n+1)^4$ ifadesinin $2^{19}$ ile tam bölünebilmesini sağlayan $2014$ ten küçük kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 72
\qquad\textbf{b)}\ 175
\qquad\textbf{c)}\ 188
\qquad\textbf{d)}\ 212
\qquad\textbf{e)}\ 216
$

$a+b+c+d+e+f=9$ koşulunu sağlayan $a,b,c,d,e,f$ tam sayıları için, $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 19
\qquad\textbf{b)}\ 17
\qquad\textbf{c)}\ 15
\qquad\textbf{d)}\ 13
\qquad\textbf{e)}\ 11
$

$1,2, \dots , 9 $ sayıları, $3 \times 3$ bir tahtanın birim karelerine, her bir birim karede bir sayı bulunacak ve her satır ve her sütundaki sayıların toplamı tek sayı olacak şekilde kaç farklı biçimde yerleştirilebilir?

$
\textbf{a)}\ 11520
\qquad\textbf{b)}\ 14400
\qquad\textbf{c)}\ 17280
\qquad\textbf{d)}\ 23040
\qquad\textbf{e)}\ 25920
$

$|AC|=30$ ve $s(\widehat{ABC})=90^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeninde $C$ köşesine ait içaçıortayın $[AB]$ kenarı ile kesişimi $D$ noktası ve $|CD|=5\sqrt6$ ise, $|BC|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 8
\qquad\textbf{c)}\ 4\sqrt6
\qquad\textbf{d)}\ 10
\qquad\textbf{e)}\ 5\sqrt5
$

$2^{23} + 14!$ sayısının ondalık yazılımı $87A86B79808$ ise, $A\cdot B$ çarpımı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 10
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 64
\qquad\textbf{e)}\ 72
$

$x^2+2xy=4x+3y^2$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ tam sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 8
$

Bir masanın üstünde $300$ tane fındıktan oluşan bir öbek vardır. Her adımda, Ali seçtiği bir öbekten bir tane fındık yiyip, sonra bu öbekta kalan fındıkları en az birer fındık içeren iki öbeğe ayırıyor. Bir kaç hamle sonucunda tüm öbeklerde $k$ tane fındık varsa $k$ sayısı $3,4,5,6,7$ değerlerinden kaçını alabilir?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 2
\qquad\textbf{e)}\ 1
$

Bir $ABC$ üçgeninin $A$ ve $B$ köşelerinden geçen bir çember $[BC]$ ve $[AC]$ kenarlarını sırasıyla, $D$ ev $E$ noktalarında kesiyor. $[AB]$ ve $[AD]$ nin orta noktaları sırasıyla, $P$ ve $Q$ olsun. $BC$ doğrusunun $A$ ya göre farklı tarafında olan bir $Z$ noktası için, $ZD$ ve $AD$ doğruları birbirine diktir ve $|DZ|=|DP|$ dir. $|AE|=1, |BD|=4$ ve $|DC|=2$ ise, $|ZQ|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{10}
\qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt5
$

Farklı üç pozitif tam sayı böleninin toplamı kendisine eşit olan $2014$ ten küçük kaç pozitif tam sayı vardır?

$
\textbf{a)}\ 77
\qquad\textbf{b)}\ 165
\qquad\textbf{c)}\ 258
\qquad\textbf{d)}\ 335
\qquad\textbf{e)}\ 770
$

$x^3+2y^3=3$ ve $xy^2=1$ koşullarını sağlayan $(x,y)$ gerçel sayı ikilileri için, $x^3+y^3$ ifadesinin alabileceği değerlerin çarpımı nedir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 7
$

$101$ tane madeni paranın tam olarak $3$ tanesi sahtedir. Gerçek paraların ve sahte paraların ağırlıkları kendi aralarında eşit olup, sahte paralar gerçek paralardan daha hafiftir. İki kefeli bir tartı en az kaç kez kullanılarak gerçek paralardan $25$ tanesini belirlemek garantilenebilir?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 6
$

$|AB|=1,|BC|=\sqrt3 $ ve $|CA|=\sqrt2$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarına ait bir $D$ noktası için, $AD$ doğrusu $B$ köşesine ait kenarortayı $P$ noktasında kesiyor ve $|PD|/|PA|=\sqrt2-1$ ise, $s(\widehat{DAC})$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 15^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 30^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 45^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 60^\circ
\qquad\textbf{e)}\ 75^\circ
$

Tam olarak $19$ tane pozitif tam sayı böleni olan bir tam sayının $11$ ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ 9
$

$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=b-c-1$ eşitliğini sağlayan kaç $(a,b,c)$ gerçel sayı üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ 0
$

Başlangıçta tahtada Aslı ve Berk'e ait olmak üzere beşer sayı bulunuyor. Oyunun her hamlesinde sayılarının toplamı daha büyük olan öğrenci kendi sayılarından birini siliyor. Toplamların eşit olması durumunda sayı silme sırası Berk'e veriliyor. Kendi sayılarının tümünü ilk silen öğrenci oyunu kazanıyor. Oyun, Aslı ve Berk'in sayıları sırasıyla $(1,3,5,7,9)$ ve $(2,4,6,8,10)$; $(1,2,5,9,10)$ ve $(1,3,4,8,9)$; $(1,2,5,9,10)$ ve $(1,4,5,7,9)$; $(2,4,5,8,10)$ ve $(1,4,5,7,9)$ olarak birer kez oynanırsa, Aslı bu oyunlardan kaçını kazanmayı garantileyebilir?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ 0
$