Geomania.Org Forumları

Bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinin karşısındaki dışteğet çemberin merkezi $J$ noktası olsun. Bu dışteğet çember $BC$ kenarına $M$, $AB$ ve $AC$ doğrularına ise sırasıyla $K$ ve $L$ noktalarında teğettir. $LM$ ve $BJ$ doğruları $F$ noktasında, $KM$ ve $CJ$ doğruları ise $G$ noktasında kesişiyor. $AF$ ve $BC$ doğrularının kesişim noktası $S$, $AG$ ve $BC$ doğrularının kesişim noktası ise $T$ olsun. $M$'nin $[ST]$ doğru parçasının orta noktası olduğunu kanıtlayınız.
($ABC$ üçgeninin $A$ köşesinin karşısındaki dışteğet çember; $BC$ kenarına, $B$'nin ötesinde $[AB$ ışınına ve $C$'nin ötesinde $[AC$ ışınına teğet olan çemberdir.)

$n\geq 3$ bir tam sayı ve $a_2,a_3,\dots, a_n$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $a_2a_3\dots a_n = 1$ olsun. $$(1+a_2)^2(1+a_3)^3\dots(1+a_n)^n > n^n$$ olduğunu gösteriniz.

Yalancının sayısını tahmin etme oyunu, $A$ ve $B$ oyuncuları arasında oynanan bir oyundur. Oyun, her iki oyuncuya da önceden bildirilen $k$ ve $n$ pozitif tam sayılarına göre oynanıyor.
Oyunun başında $A$ oyuncusu $1 \leq x \leq N$ olacak şekilde $x$ ve $N$ tam sayılarını seçer ve $N$ sayısının ne olduğunu $B$ oyuncusuna dürüstçe söyler, fakat $x$ sayısını gizli tutar. Daha sonra $B$ oyuncusu $A$ oyuncusuna sorular sorarak $x$ sayısı hakkında bilgi edinmeye çalışır. Her defasında $B$ oyuncusu pozitif tam sayılardan oluşan bir $S$ kümesi belirler (bu küme daha önceki bir soruda geçen küme de olabilir) ve $A$ oyuncusuna ``$x$ sayısı $S$ kümesinin elemanı mıdır?'' diye sorar. $B$ oyuncusu istediği kadar soru sorabilir. $A$ oyuncusu istediği kadar yalan söyleyebilir, fakat herhangi ardışık $k+1$ cevabından en az biri doğru olmak zorundadır.
$B$ oyuncusu istediği kadar soru sorduktan sonra en fazla $n$ pozitif tam sayıdan oluşan bir $X$ kümesi belirlemelidir. Eğer $x$ sayısı $X$ kümesinin elemanı ise $B$ oyunu kazanır, aksi durumda kaybeder.

• $n \geq 2^k$ ise, $B$ oyuncusunun oyunu kazanmayı garantileyebileceğini kanıtlayınız.
• Yeterince, büyük her $k$ tam sayısı için, $B$ oyuncusunun oyunu kazanmayı garantilemesinin mümkün olmadığı bir $n \geq 1,99^k$ tam sayısının bulunduğunu kanıtlayınız.
  

$a+b+c = 0$ olmak üzere, tüm $a,b,c$ tam sayıları için $$f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2 = 2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)$$ eşitliğini sağlayan bütün $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ fonksiyonlarını bulunuz.
(Burada $\mathbb{Z}$ tam sayılar kümesidir.)

Bir $ABC$ üçgeninde $\angle BCA = 90^\circ$ ve $C$ köşesinden indirilen yüksekliğin ayağı $D$ olsun. $[CD]$ doğru parçası üzerinde $C$ ve $D$ noktalarından farklı bir $X$ noktası alınıyor. $[AX]$ doğru parçası üzerinde $|BK|=|BC|$ olacak şekilde bir $K$ noktası ve benzer şekilde $[BX]$ doğru parçası üzerinde $|AL|=|AC|$ olacak şekilde bir $L$ noktası seçiliyor. $AL$ ve $BK$ doğrularının kesişim noktası $M$ olsun. $|MK|= |ML|$ olduğunu gösteriniz.

Hangi $n$ pozitif tam sayıları için, $$\frac 1{2^{a_1}}+\frac 1{2^{a_2}}+\dots + \frac 1{2^{a_n}} = \frac 1{3^{a_1}} + \frac 2{3^{a_2}} + \dots + \frac n{3^{a_n}} = 1$$ eşitliklerini sağlayan $a_1, a_2, \dots, a_n$ negatif olmayan tam sayılarının bulunduğunu belirleyiniz.