Geomania.Org Forumları

İçteğet çemberinin merkezi $I$ olan bir $ABC$ üçgeninin içinde, $$m(\widehat{PBA}) + m(\widehat{PCA}) = m(\widehat{PBC}) + m(\widehat{PCB})$$ olacak şekilde bir $P$ noktası seçiliyor. $ |AP| \geq |AI|$ olduğunu ve eşitliğin ancak ve ancak $P = I$ olması halinde sağlanacağını gösteriniz.

Bir $P$ düzgün $2006$-geni veriliyor. $P$ nin bir köşegenine, uçları $P$ nin çevresini, her birisi $P$ nin tek sayıda kenarından oluşan iki parçaya ayırması halinde, güzel adı veriliyor. $P$ nin her kenarı da güzel kabul ediliyor.
 
$P$, herhangi ikisi çokgen içinde kesişmeyen $2003$ köşegeni tarafından üçgensel  bölgelere ayrıldığında, iki kenarı güzel olan en fazla kaç ikizkenar üçgen oluşabileceğini bulunuz.

Tüm $a, b, c$ reel sayıları için  $$\left |ab(a^2 - b^2 ) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)\right | \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2$$ eşitsizliğini geçerli kılan en küçük $M$ reel sayısını bulunuz.

$1+2^x+2^{2x+1} = y^2$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,y)$ tam sayı ikililerini belirleyiniz.

Katsayıları tam sayı ve derecesi $n>1$ olan bir $P(x)$ polinomu ile bir $k>0$ tam sayısı veriliyor. $Q(x) = P(P(\dots P(P(x))\dots ))$, $P$ nin $k$ kez kullanılmasıyla tanımlanan polinom olmak üzere, $Q(t) = t$ eşitliğini sağlayan $t$ tam sayılarının sayısının en fazla $n$ olacağını ispatlayınız.

Dışbükey bir $P$ çokgeninin her $b$ kenarına, çokgenin dışına taşmayan ve kenarlarından birisi $b$ olan üçgenlerin sahip olabileceği en büyük alan değeri karşı tutuluyor. $P$ nin tüm kenarlarına karşı tutulan değerler toplamının, $P$ nin alanının iki katından küçük olamayacağını gösteriniz.