geometrik olasılık

[Lokman Gökçe]

Proble_m hocam genellemeniz güzel olmuş. Elinize sağlık.

[senior]

Soru 7: x ekseni 8'de biten, y ekseni 4'te biten bir dikdörtgensel alan düşünelim. x + y = 4 doğrusunu çizdiğimizde bu doğrunun altında ve dikdörtgenin içinde kalan alanı oluşturan noktalar soruda istenilen ifadeyi sağlayan noktalardır. Yani bu alan/Dikdörrgenin alanı istediğimiz olasılıktır.
x+y = 4 doğrusu x ve y eksenlerini 4'lerde keser. Altındaki üçgensel bölgenin alanı 4*4/2 = 8
Dikdörtgenin alanı 4*8 = 32 oldu. sonuç 8/32 = % 25 'tir

[senior]

Hocam Soru 8 hakkında ben mi yanılıyorum yoksa cvp gerçekten 3/4 mü?

[Lokman Gökçe]

8. sorunun cevabı 3/4 doğru bulmuşsunuz tek sayılara ait dilimlerin merkez açıları toplam 90 + 180 = 270 dir. 270/360 = 3/4 olur.

Bu konuyla ilgili bir olimpiyat çalışma kağıdı hazırlamayı düşünüyordum. Burada çözdüğümüz problemlerin benzerleri ile kolaydan zora doğru giriş yapabiliriz.

[senior]

Tabi ki, birkaç öneri ile gelirim Sorular daha zorlarına açık kapı bırakıyor. Mesela, soru 5 için, ilk dört adımda değil de, her durumda o karenin etrafını dolaşma olasılığı da mevcut.

Ayrıca, proble_m arkadaşımız genellemesinin bir ispatını paylaşırsa sevinirim =) Ben ancak rastgele değişkenlerden gidilebileceği kanısına vardım böyle hipergeometrik problemler için ama varsa daha algısal bir yöntem görmek isterim.

[Lokman Gökçe]

Problem 9: Bir doğru parçasının üzerinden rastgele iki nokta alınarak üç küçük doğru parçası elde ediliyor. Bu küçük doğru parçalarının üçgen oluşturabilme olasılığı nedir?

2006 da iki yoldan çözmüştük, sadece birine ulaşabildim (paintte cillop gibi çizimler yapardım  )

[Lokman Gökçe]

Güneş kardeşim önerilerine herzaman açık olduğumu tekrar hatırlatayım. Dökümanı daha ilginç hale getireceğinden eminim. Ben de gün yüzü görmemiş bir soru hazırlamıştım. Onu da eklerim

Arkadaşlar 3 boyutlu grafik için kullanımı kolay ve estetik çizimler veren, tavsiye edebileceğiniz bir program var mı? Proble_m hocam 3 boyutlu çizimi siz hangi programda yapıyorsunuz?

Problem 10: Bir çubuk rastgele üç yerinden kırıldığından oluşan parçaların dörtgen oluşturabilme olasılığı nedir? (Hazırlayan: Alper ÇAY)

[Lokman Gökçe]

Alper bey'in genellemesini verelim:

Problem 11: n - 1 noktadan kırılarak n parçaya ayrılan bir çubuğun bir n - gen oluşturabilme olasılığı nedir?

[Lokman Gökçe]

Üç boyutlu uzayda çözülebilecek problemler hazırlamıştım. Onları da ekliyorum.

Problem 12: [0,4] aralığından rastgele 3 sayı seçiliyor. Bu sayıların toplamının 3 den büyük olma olasılığı kaçtır?

Problem 13: [0,1] aralığından rastgele seçilen üç sayı x, y, z dir. z² < x² + y² olma olasılığı kaçtır?

[Lokman Gökçe]

Problem 14: [0,1] aralığından rastgele seçilen üç sayı x, y, z dir. z < x² + y² olma olasılığı kaçtır?

[Lokman Gökçe]

yine 2006 da hazırladığım bir başka hipergeometrik problem:

Problem 15: a > 0 bir sabit olmak üzere [0,a] aralığından rastgele seçilen dört sayı x, y, z, t olsun. t > x + y + z olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: Önce rastgele seçilen x, y şeklindeki iki sayı için y > x olma olasılığını bulalım. bu olasılık 1/2 dir.
Sonra rastgele seçilen x, y, z şeklindeki üç sayı için z > x + y olma olasılığını bulalım. bu olasılık 1/6 dır.
daha sonra bir genellemeye ulaşıp, bu genellemeyi ispatlayarak problemimizi çözebiliriz... t > x + y + z olma olasılığı 1/24 tür.

[proble_m]

R³ çizimleri için ben eski bir Matematik Yazılımını kullanmıştım. "Derive 6".
Alternatif olarak: denklemi verip çizimi görebileceğimiz program olarak Microsoft Math var.
Kendi çizimim içinse CorelDraw veya Cabri 3D kullanırım.

Soru 6 için verdiğim genellemenin ispatını ben de merak ediyorum doğrusu:) Uzun zaman oldu, biraz zaman gerekecek sanırım.

[Lokman Gökçe]

Teşekkürler hocam. Microsoft Math, ilk göz ağrım olan Paint'ten daha iyi iş çıkardı test amacıyla JPEG formatında kaydedilmiş z = x² + y² paraboloidini inceleyelim. (PNG formatı tercih edilirse daha da estetik görünüyor ama 3 kat daha fazla alan kaplıyor diye onu koymuyorum)

[proble_m]

Soru 6 için yaptığım genellemenin temel mantığını pdf ekinde veriyorum. Bir ispat değil zaten.
rar uzantılı ekte ise Cabri 3D ile yaptığım dosyalar var. Dosyaları bir klasöre açtıktan sonra, explorer sembollü  dosyayı çalıştırmanız yeterli. Şekil üzerinde mouse un sağ tuşuna basılı tutarak şekli (pdf ekindeki 3 boyutlu resmi) istediğiniz gibi döndürebilirsiniz.
Tabii bunu yapabilmeniz için öncelikle Cabri 3D nin http://download.cabri.com/data/cabri3d/212/Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe adresinden explorer ve firefox için plug-in i indirip kurun.
Bunu gerçekten yapmanızı tavsiye ederim, şekli döndürerek görmek çok güzel.

[Lokman Gökçe]

evet, 3 boyutlu şeklin sağını solunu tutup döndürmek çok iyi oluyor elinize sağlık hocam. Genelleme şeklinde verdiğiniz eşitliği de önceki çözdüğümüz problemlerde olduğu gibi hipergeometrik yaklaşımla ispatlayabiliriz sanırım.