Köşegen kenarortay

[geo]

Köşegenleri $E$ noktasında kesişen dışbükey $ABCD$ dörtgeninde $m(\widehat{BCD}) = 90^\circ $, $m(\widehat{ABD}) = 2m(\widehat{CBD}) = 72^\circ$ ve $|AE|=|EC|$ idr. $|BD| = 4$ ise $|AB|$ kaçtır?

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$\angle BDC=54^{\circ}$  ve $BC=4\cos 36^{\circ}$  dır. $\angle BCE=\alpha$  diyelim.
$$\dfrac{BC}{\sin (\alpha+36^{\circ})}=\dfrac{EC}{\sin 36^{\circ}}\Rightarrow AE=EC=\dfrac{2\sin 72^{\circ}}{\sin (\alpha+36^{\circ})}$$
olur. Ayrıca $\triangle ABE$ 'de Sinüs Teoreminden $AB=\dfrac{AC.\sin (\alpha+36^{\circ})}{\sin 72^{\circ}}$  bulunur. Az önce bulduğumuz $AC$  değeri yerine konduğunda $AB=2$  çıkar.

[geo]

$\text{Alan}(ABD)=\text{Alan}(CBD)$.
$\angle CBD = \alpha$ ise $\angle ABD =2\alpha$.

$\dfrac 12 \cdot AB \cdot BD \cdot \sin 2\alpha = \dfrac 12 \cdot BC \cdot BD \cdot \sin \alpha$

$AB \cdot 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha = BC\cdot \sin \alpha$

$2\cdot AB \cdot \cos \alpha = BC$

$2\cdot AB \cdot \dfrac {BC}{BD} = BC$

$2\cdot AB = BD=4 \Longrightarrow AB=2$.

[geo]

Daha genel hali $\angle ABD = 2\angle CBD$ ile ifade edilebilir.

$ABCF$ paralelkenarını kuralım.
$\angle CFB =2\angle CBD$ ve $AB=CF$.
$[BD$ üzerinde $CF=CM$ olacak şekilde $M$ noktası alalım.
$\angle CMD =2\angle CBD$ olduğu için $M$ noktası $\triangle BCD$ dik üçgeninde hipotenüsün orta noktasıdır.
$\dfrac {BD}{2}=CM=CF=AB$.