Balkan Matematik Olimpiyatı 2017 Soru 3

[matematikolimpiyati]

Her $m,n \in \mathbb Z^+$ için
$$n+f(m) \mid f(n)+nf(m)$$
şartını sağlayan tüm $f: \mathbb Z^+ \to \mathbb Z^+$ fonksiyonlarını bulunuz.

(Arnavutluk)

[Abdullah demircan]

$f(x)=1$ bir çözümdür. Şimdi fonksiyonun sabit olmadığını varsayalım.
$P(1,1):f(1)=1$
$P(n,1):n+1|f(n)+n$
$n+1|f(n)-1$ buradan $f(n)≠1$ için $f(n)>=n+2$ gelir. Sorudaki ifadeyi,
$n+f(m)|f(n)-n^{2}$ şeklinde de yazabileceğimizden dolayı her n ve m değeri için $f(m)<=|f(n)-n^{2}|-n$ olur. Sonsuz tane m sayısı için $f(m)≠1$ olması durumunda sonsuz tane m sayısı için $f(m)>=m+2$ olacağından yukarıdaki eşitsizliği sağlamayan bir m sayısı mutlaka bulunur,bu durumdan çözüm gelmez. $f(m)≠1$ durumunu sağlayan sayıların sınırlı olması durumunu inceleyecek olursak:
$m'yi,f(m)≠1$ olmasını sağlayan sayılardan biri $n$'yi ise $f(n)=1$ olmasını sağlayan sayılardan biri olacak şekilde seçersek,
$n+f(m)|1+nf(m)$
$n+f(m)|f(m)^{2}-1$
Secebileceğimiz n sayısı sonsuz tane olduğundan $n>=|f(m)^{2}-1|-f(m)$ olmasını sağlayan n sayısı mutlaka bulunabileceginden dolayı buradan da başka çözüm gelmez.

[Abdullah demircan]

$f(x)=1$ bir çözümdür. Şimdi fonksiyonun sabit olmadığını varsayalım.
$P(1,1):f(1)=1$
$P(n,1):n+1|f(n)+n$
$n+1|f(n)-1$ buradan $f(n)≠1$ için $f(n)>=n+2$ gelir. Sorudaki ifadeyi,
$n+f(m)|f(n)-n^{2}$ şeklinde de yazabileceğimizden dolayı her n ve m değeri için $f(m)<=|f(n)-n^{2}|-n$ olur. Sonsuz tane m sayısı için $f(m)≠1$ olması durumunda sonsuz tane m sayısı için $f(m)>=m+2$ olacağından yukarıdaki eşitsizliği sağlamayan bir m sayısı mutlaka bulunur,bu durumdan çözüm gelmez. $f(m)≠1$ durumunu sağlayan sayıların sınırlı olması durumunu inceleyecek olursak:
$m'yi,f(m)≠1$ olmasını sağlayan sayılardan biri $n$'yi ise $f(n)=1$ olmasını sağlayan sayılardan biri olacak şekilde seçersek,
$n+f(m)|1+nf(m)$
$n+f(m)|f(m)^{2}-1$
Secebileceğimiz n sayısı sonsuz tane olduğundan $n>=|f(m)^{2}-1|-f(m)$ olmasını sağlayan n sayısı mutlaka bulunabileceginden dolayı buradan da başka çözüm gelmez.

Aslında sonsuz tane m sayısı için $f(m)≠1$ olması durumunda $f(m)=m^{2}$ de olabilir. Yani tüm olası çözümler $f(x)=1$ ve $f(x)=x^{2}$ gibi duruyor.bunu da m'yi $f(m)=m^{2}$, $n$'yi $f(n)=1$ olacak şekilde seçerek gösterebiliriz. Bu durumda,
$n+m^{2}|1+nm^{2}$
$n+m^{2}|n^{2}-1$ olur. Aynı şekilde secebileceğimiz m sayısı da sonsuz olduğundan $f(n)=1$ olmasını sağlayan tek n sayısının 1 olduğu görülebilir.