Gönderen Konu: Iki kati  (Okunma sayısı 208 defa)

Çevrimdışı NazifYILMAZ

  • G.O Azimli Üye
  • ***
  • İleti: 32
  • Karma: +0/-0
Iki kati
« : Kasım 28, 2019, 03:36:54 ös »
Birer basamağı 2 olan bir sayının son basamağı ilk başa yazilirsa, elde edilen sayı ilk sayının iki katına eşit olmaktadır.  Bu sayı en az kaç basamaklidir.
« Son Düzenleme: Aralık 11, 2019, 01:26:35 öö Gönderen: ERhan ERdoğan »

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1405
  • Karma: +11/-0
Ynt: Iki kati
« Yanıtla #1 : Aralık 11, 2019, 02:27:13 öö »
Sayıyı $x_1x_2 \ldots x_{n}2$ olacak şekilde $n+1$ basamaklı alalım. O halde;  $2[x_1x_2 \ldots x_n2] = 2x_1x_2 \ldots x_n $ dir.

Çözümleyelim , $2[x_1x_2 \ldots x_n0+2] = 200 \ldots 0 + x_1x_2 \ldots x_n$

Yazım kolaylığı açısından $x_1x_2 \ldots x_n = K$ diyelim.

$2[10K+2]=2\cdot 10^n + K \Rightarrow 19K+4 = 2\cdot 10^n$

Bu ifadeyi $\mod19$ 'da inceleyelim.

$2 \cdot 10^n \equiv 4 \mod(19)$

${\color{Red} 5}\cdot 2 \cdot 10^n \equiv {\color{Red} 5} \cdot 4 \mod(19)$

$10^{n+1} \equiv 1 \mod(19)$

Fermat teoremine göre, $10^{18} \equiv 1 \mod(19)$ olduğunu biliyoruz.

$10^9$ için bir inceleme yapıldığında $10^9 \equiv -1 \mod(19)$ olduğunu görebiliriz.

Buna göre, $n+1$ in en küçük değeri $18$ dir.
« Son Düzenleme: Aralık 12, 2019, 05:36:18 ös Gönderen: ERhan ERdoğan »

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 331
  • Karma: +7/-0
Ynt: Iki kati
« Yanıtla #2 : Aralık 11, 2019, 09:19:21 öö »
Buna göre, $n+1$ in en küçük değeri $18$ dir.
Çözümün tamam olması için şartı sağlayan bir sayıyı örnek göstermek de gerekmiyor mu hocam?
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1405
  • Karma: +11/-0
Ynt: Iki kati
« Yanıtla #3 : Aralık 12, 2019, 01:01:19 ös »
Buna göre, $n+1$ in en küçük değeri $18$ dir.
Çözümün tamam olması için şartı sağlayan bir sayıyı örnek göstermek de gerekmiyor mu hocam?
Doğru söylüyorsunuz bu kısmı da tamamlamalıyız. Uygun bir vakitte ilgilenecegim..

Çevrimdışı NazifYILMAZ

  • G.O Azimli Üye
  • ***
  • İleti: 32
  • Karma: +0/-0
Ynt: Iki kati
« Yanıtla #4 : Aralık 12, 2019, 03:03:56 ös »
Teşekkür hocam
105263157894736842
Sayısı istenen sağlıyor

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal