Gönderen Konu: Tam kare  (Okunma sayısı 806 defa)

Çevrimdışı NazifYILMAZ

  • G.O Azimli Üye
  • ***
  • İleti: 32
  • Karma: +0/-0
Tam kare
« : Kasım 12, 2019, 10:34:23 öö »
$a,b$ pozitif  tam sayı  olmak üzere $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}=n^2$ eşitliğinin sağlayan kaç farklı $(a,b)$ ikilisi vardır.




Edit: Burada $n$'nin ne olduğu belirtilmemiş ancak bir pozitif tam sayı olduğunu düşünüyoruz. $n$ gerçel sayı verilirse her $(a,b)$ pozitif tam sayı ikilisi için eşitlik sağlanır.

Ayrıca soru, bir IMO problemini hatırlatıyor bana. Öyle ise, kaynak taramasını yapıp yılını bulabiliriz. (L. Gökçe)

« Son Düzenleme: Kasım 12, 2019, 03:21:46 ös Gönderen: scarface »

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2876
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
Ynt: Tam kare (IMO 1988/6)
« Yanıtla #1 : Kasım 12, 2019, 03:30:40 ös »
Doğru hatırlamışım, 1988 IMO'nun 6. sorusu imiş.

Çeşitli çözümler için buraya tıklayınız. Ayrıca kendi çözümünü bulan ya da tercüme bir çözümü yazmak isteyen olursa http://geomania.org/forum/index.php?topic=4476.0 bağlantısındaki IMO 1988'in 6. problemine çözümü girsin.

Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 331
  • Karma: +7/-0
Ynt: Tam kare (IMO 1988/6)
« Yanıtla #2 : Kasım 12, 2019, 05:04:42 ös »
Doğru hatırlamışım, 1988 IMO'nun 6. sorusu imiş.

Çeşitli çözümler için buraya tıklayınız.

IMO 1988 6. soruda farklı bir şey soruyor hocam?
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2876
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
Ynt: Tam kare
« Yanıtla #3 : Kasım 13, 2019, 01:40:40 öö »
Hemen hemen aynı şey isteniyor gibi duruyor. Sorunun ilham kaynağını belirtmiş olduk hem. 1988 imo sorusu çözülürse bu soru da biter diye düşünüyorum.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2876
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
Ynt: Tam kare
« Yanıtla #4 : Kasım 13, 2019, 03:10:07 ös »
IMO 1988/6 sorusuna göre $n=1$ veya $a> b \geq 2$ kabulü altında $n=b$ olmalıdır.

Ayrıca buradaki incelemeye göre $n=1$ durumunda $a=b=1$ olmalıdır.

$a> b \geq 2$ kabulü altında $n=b$ durumunu irdeleyelim. İfade $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}=b^2$ olur. Düzenlersek $a^2+b^2 = ab^3 + b^2$ olup bu denklemden $a=b^3$ elde edilir.

Dolayısıyla, simetriyle beraber tüm çözümler $(b^3,b)$ ve $(b, b^3)$ biçimindeki pozitif tam sayı ikilileri olur. Yukarıdaki ana soruda bunların sayısı sorulmuştu: sonsuz çoklukta $(a,b)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır, deriz.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 227
  • Karma: +6/-0
Ynt: Tam kare
« Yanıtla #5 : Kasım 14, 2019, 11:34:53 öö »
Bu sorudan yola çıkarak şu soruyu da çözebiliriz; $a,b,c$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $\dfrac{a^2+b^2}{abc+1}$ ifadesi tam sayı ise bir tam sayının karesi olması gerektiğini gösteriniz.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 227
  • Karma: +6/-0
Ynt: Tam kare
« Yanıtla #6 : Kasım 14, 2019, 04:26:38 ös »
Bu sorudan türetilmiş başka bir soru;

$a,b,c$ pozitif tam sayı ise, $$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc+1}$$ ifadesini tam sayı yapan tüm $(a,b,c)$ üçlülerini bulunuz.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal