Gönderen Konu: Rakamlarının toplamı 32 olan 4 basamaklı sayılar {çözüldü}  (Okunma sayısı 143 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2854
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
Rakamlarının toplamı $32$ olan kaç tane dört basamaklı doğal sayı vardır?
« Son Düzenleme: Ekim 16, 2019, 08:05:00 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2854
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
Ynt: Rakamlarının toplamı 32 olan 4 basamaklı sayılar
« Yanıtla #1 : Ekim 16, 2019, 08:04:41 ös »
Çözüm 1:

$a+b+c+d = 32 $ denklemi $1\leq a \leq 9$, $ 0 \leq b \leq 9$, $ 0 \leq c \leq 9$, $ 0 \leq d \leq 9$ koşulları altında tam sayılarda çözmeliyiz. $a=a' + 1 $ dersek $0\leq a' \leq 8 $ olup denklem $$ a' + b + c + d = 31 \tag{1} $$ biçimine gelir. Bu denklemin negatif olmayan tamsayılardaki çözüm sayısı dağılım prensibinden $$N= \dbinom{34}{3}$$ olur. Bunlar $(1)$ için tüm çözümlerin sayısıdır.

Sonra $a' \geq 9 $ istenmeyen durumlarının sayısı (aslında $a\geq 10 $ durumlarının sayısı) için $a' = a'' + 9 $ değişken değiştirmesi yapalım. $a'' \geq 0$ olup denklem $a'' + b + c + d = 22 $ biçimine gelir. Dağılım prensibiyle bu denklemin çözüm sayısı $\dbinom{25}{3}$ olur.

Öte taraftan $(1)$ denkleminin $b\geq 10$, $c\geq 10$, $d\geq 10$ istenmeyen durumları da vardır. Örneğin $b\geq 10$ için $b= b'+10 $ denirse $(1)$ denklemi $a'+b'+c+d = 21 $ biçimine gelir. Dağılım prensibiyle çözüm sayısını $\dbinom{24}{3}$ buluruz. O halde tüm bu istenmeyen durumların toplamı $$ N_1 = \dbinom{25}{3} + 3\cdot \dbinom{24}{3} $$ olur.


Şimdi de $(1)$ denkleminin istenmeyen durumları arasındaki ikişerli kesişimleri hesaplayalım. Örneğin $a' \geq 9$ ve $b \geq 10$ durumunda $(1)$ denkemi $a'' + b' + c + d = 12 $ biçimine gelir. Bu denklemin çözüm sayısı $\dbinom{15}{3}$ olur. $b \geq 10$ ve $c \geq 10$ durumunda $(1)$ denkemi $a' + b' + c' + d = 11 $ biçimine gelir. Bu denklemin çözüm sayısı $\dbinom{14}{3}$ olur. Tüm bu ikişerli kesişimlerin toplamı $$ N_2 = 3\cdot \dbinom{15}{3} + 3\cdot \dbinom{14}{3} $$

olur.


Şimdi de istenmeyen üçlü kesişimleri hesaplayalım. Örneğin $a' \geq 9$, $b \geq 10$, $c \geq 10$ durumunda $(1)$ denklemi $a'' + b' + c' + d = 2$ biçimine gelir. Çözüm sayısı $\dbinom{5}{3}$ olur.  $b \geq 10$, $c \geq 10$, $d \geq 10$ durumunda $(1)$ denklemi $a' + b' + c' + d' = 1$ biçimine gelir. Çözüm sayısı $\dbinom{4}{3}$ olur. Tüm bu üçlü kesişimlerin toplamı  $$ N_3 = 3\cdot \dbinom{5}{3} + \dbinom{4}{3} $$

olur. Dörtlü kesişim durumu yoktur. Böylece $(1)$ denkleminin istenen özellikteki çözümlerinin sayısı içerme-dışarma prensibinden $$ N-N_1 + N_2 - N_3 = \dbinom{34}{3} - \dbinom{25}{3} - 3\cdot \dbinom{24}{3} +  3\cdot \dbinom{15}{3} + 3\cdot \dbinom{14}{3} - 3\cdot \dbinom{5}{3} - \dbinom{4}{3} $$ elde edilir.


Çözüm 2:

$32$ özdeş topu $4$ kutuya dağıtacağız. Her bir kutu en fazla $9$ top alabiliyor ve ilk kutuda en az $1$ top bulunması gerekiyor. Tüm kutuları $9$'ar top ile dolduralım ve $4\cdot 9 = 36$ top eder. Şimdi bu kutulardan toplamda $4$ top çekelim ki geriye $36-4=32$ top kalsın. Kutulardan sırasıyla $x,y,z,t$ tane top çekilmiş olsun. $$ x+ y + z + t = 4 \tag {2} $$ denkleminin negatif olmayan tam sayılardaki çözüm sayısı $\dbinom{7}{3}= 35$ bulunur.


Not: Alıştırma olarak, her iki çözüm yolundan elde edilen değerlerin aynı olduğunu kontrol ediniz.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal