Gönderen Konu: Lehmer'in Bir Sonucunun Geometrik İspatı  (Okunma sayısı 174 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2876
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
Lehmer'in Bir Sonucunun Geometrik İspatı
« : Eylül 19, 2019, 01:33:54 ös »
Lehmer (1936): $F_n$ Fibonacci dizisi olmak üzere $$ \sum_{i=1}^{\infty} \text{arccot} F_{2i + 1} = \dfrac{\pi}{4}.$$


İspat (Charles W. Trigg): Şekildeki birim karelerden oluşan dikdörtgende $|NP|=F_{2n}$, $|NQ|=F_{2n+1}$, $|NR|=F_{2n+2}$ ve $|MN|=1$ dir. Buna göre, $|MP|=\sqrt{ F_{2n}^2 + 1} $, $|PQ| = F_{2n+1} - F_{2n} $ ve $|PR| = F_{2n+2} - F_{2n} $ olur.


İyi bilinen
$$ F_{2n+1}F_{2n+2} - F_{2n}F_{2n+3}= 1$$
eşitliği ile başlayalım:
$$ F_{2n+1}F_{2n+2} - F_{2n}(F_{2n+1}+F_{2n+2}) + F_{2n}^2 = F_{2n}^2 + 1$$
$$ (F_{2n+1}- F_{2n}) (F_{2n+2}- F_{2n}) = F_{2n}^2 + 1 $$
$$ \dfrac{F_{2n+1}- F_{2n}} {\sqrt{ F_{2n}^2 + 1}} = \dfrac {\sqrt{ F_{2n}^2 + 1}} {F_{2n+2}- F_{2n}}$$
olur. Böylece kenar - açı - kenar benzerliğinden $QPM \sim MPR$ olur. Dolayısıyla $\angle MRP = \angle QMP$ olup $\angle MPN = \angle QMP + \angle MQP = \angle MRP + \angle MQP $ yazılır. Yani $ \text{arccot} F_{2i} = \text{arccot} F_{2i + 1} +  \text{arccot} F_{2i + 2} $. Böylelikle,

$\text{arccot} 1 = \text{arccot} 2+\text{arccot} 3$

              $ = \text{arccot} 2+\text{arccot} 5 +\text{arccot} 8$

              $ = \text{arccot} 2+\text{arccot} 5+\text{arccot} 13+\text{arccot} 21$

              $ = \dots $

              $ =\sum\limits_{i=1}^n \text{arccot} F_{2i+1} + \text{arccot} F_{2n+2}$

              $ = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \text{arccot} F_{2i+1} $

elde edilir. İlk $\text{arccot} 1= \dfrac{\pi}{4}$ değeri yerine yazılırsa ispat tamamlanır. $\blacksquare $
« Son Düzenleme: Eylül 19, 2019, 10:30:44 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal