Gönderen Konu: tan(nx) ifadesinin tan(x) cinsinden eşiti {çözüldü}  (Okunma sayısı 49 defa)

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş
  • ****
  • İleti: 211
  • Karma: +3/-0
  • Manisa
tan(nx) ifadesinin tan(x) cinsinden eşiti {çözüldü}
« : Eylül 13, 2019, 07:06:55 ös »
$Soru:$ $n$ pozitif bir tam sayı ve $x$ bir reel sayı olmak üzere , $\tan(nx)$ ifadesinin $\tan(x)=t$ cinsinden eşitini bulunuz.
« Son Düzenleme: Eylül 14, 2019, 07:07:41 ös Gönderen: scarface »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Manisa Özel Türk Koleji Fen Lisesi

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Bağımlı Üye
  • ******
  • İleti: 145
  • Karma: +6/-0
Ynt: tan(nx) ifadesinin tanx cinsinden eşiti
« Yanıtla #1 : Eylül 14, 2019, 01:44:48 öö »
Elde ettiğim sonucun daha sade hali var olabilir, eğer bulan olur ve eklerse sevinirim.

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ eşitliğini kullanırsak, $$e^{ixn}=(\cos(x)+i\sin(x))^n=(\cos(nx)+i\sin(nx))$$ $$\Rightarrow z= \dfrac{(\cos(x)+i\sin(x))^n}{\cos^{n}(x)}=(1+i\tan(x))^n=\dfrac{\cos(nx)}{\cos^{n}(x)}+i\dfrac{\sin(nx)}{\cos^{n}(x)}$$ $\mathfrak{R}(x)$ ifadesi $x$'in reel kısmı, $\mathfrak{I}(x)$ ifadesi sanal kısmı olmak üzere $$\dfrac{\mathfrak{I}(z)}{\mathfrak{R}(z)}=\tan(nx)$$ olduğu görülebilir. $z$'yi binom açılımıyla incelersek, $$z=\sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k}\cdot i^k \cdot \tan^{k}(x)$$ Bu eşitlikle biraz uğraşırak eşitliği $i$'nin kuvvetlerine göre ayırıp, $$\mathfrak{I}(z)=\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor}\dbinom{n}{2j+1}\cdot (-1)^j\cdot \tan^{2j+1}(x)$$ ve $$\mathfrak{R}(z)=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}\dbinom{n}{2i}\cdot (-1)^i\cdot \tan^{2i}(x)$$ elde ederiz. Bu elde ettiklerimizden $$\tan(nx)=\dfrac{\mathfrak{I}(z)}{\mathfrak{R}(z)}=\dfrac{\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor}\dbinom{n}{2j+1}\cdot (-1)^j\cdot t^{2j+1}}{\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}\dbinom{n}{2i}\cdot (-1)^i\cdot t^{2i}}$$ bulunur.

$\underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}$
Örneğin $n=4$ için $$\tan(4x)=\dfrac{\sum_{j=0}^{1}\dbinom{4}{2j+1}\cdot (-1)^j\cdot t^{2j+1}}{\sum_{i=0}^{2}\dbinom{4}{2i}\cdot (-1)^i\cdot t^{2i}}=\dfrac{-4t^3+4t}{t^4-6t^2+1}$$ olur.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal